1 . 已知，函数有两个零点，记为，．
(1)证明：．
(2)对于，若存在，使得，求证：．

2 . 记数列的前n项和为，对任意正整数n，有，且．
(1)求和的值，并猜想的通项公式；
(2)证明第（1）问猜想的通项公式；
(3)设，数列的前n项和为，求证：．

3 . 已知函数.
(1)证明：；
(2)设，求证：对任意的，都有成立.

4 . 已知数列中，，数列的前n项和满足：．
(1)证明；数列是等比数列，并求通项公式；
(2)设，且数列的前n项和，求证：．

6 . 已知数列的前n项和为.
(1)若，，证明：；
(2)在（1）的条件下，若，数列的前n项和为，求证

7 . 已知数列：，，…，.如果数列：，，满足，，其中，则称为的“衍生数列”.
(1)若数列：，，，的“衍生数列”是：5，，7，2，求；
(2)若为偶数，且的“衍生数列”是，证明：的“衍生数列”是；
(3)若为奇数，且的“衍生数列”是，的“衍生数列”是，…依次将数列，，，…第（）项取出，构成数列：，，….求证：是等差数列.

8 . 已知数列的首项，且满足.
(1)求证：数列为等比数列；
(2)记，求数列的前项和，证明：.

9 . （1）用分析法证明：（当且仅当时等号成立）；
（2）设为曼哈顿扩张距离，其中为正整数.如.若对一切实数恒成立.设，且，求证：.

10 . 如图，在四棱锥中，四边形是矩形，是正三角形，且平面平面，，为棱的中点，．

   

(1)若为棱的中点，求证：平面；
(2)在棱上是否存在点，使得平面与平面所成锐二面角的余弦值为？若存在，指出点的位置并给以证明；若不存在，请说明理由.