1 . 易知椭圆，其短轴为4，离心率为e₁.双曲线的渐近线为，离心率为e₂，且.
（1）求椭圆E的方程；
（2）设椭圆E的右焦点为F，过点G(4，0)斜率不为0的直线交椭圆E于M、N两点设直线FM和FN的斜率为，试判断是否为定值，若是定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由.

2 . 已知椭圆过点，且右焦点为．
（1）求椭圆的方程；
（2）过点的直线与椭圆交于两点，交轴于点．若，求证：为定值；
（3）在（2）的条件下，若点不在椭圆的内部，点是点关于原点的对称点，试求三角形面积的最小值．

3 . ．
已知点是椭圆右焦点，点、分别是x轴、 y上的动点，且满足，若点满足．
（1）求点的轨迹的方程；
（2）设过点任作一直线与点的轨迹交于、两点，直线、与直线分别交于点、（其中为坐标原点），试判断是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．

4 . 已知函数.
（1）设实数k使得恒成立，求k的取值范围.
（2）设.若函数在区间内有两个零点，求k的取值范围.

5 . 设数列的前n项和为，点在的图像上.
（1）求数列的通项公式；
（2）求，且对任意的正整数n，均有.证明：对任意，总有.

6 . 设、为正实数,且x+y=1.则的最小值为______.

7 . 已知函数.
（1）当时，求函数的图像在出的切线方程；
（2）判断函数的单调性；
（3）证明：.

8 . 已知椭圆的左、右焦点分别为、，过椭圆的右焦点作一条直线交椭圆于点、.则内切圆面积的最大值是_________.

9 . 已知函数，其中．
（1）若函数有极值，求的值；
（2）若函数在区间上为增函数，求的取值范围；
（3）证明：