1 . 已知正项数列的前项和为，且，.
（1）求，的值，并写出数列的通项公式；
（2）设，数列的前项和为，求证：.

2 . 已知函数.
（1）讨论的零点个数；
（2）求证：对一切均有成立，其中为自然对数的底数.

3 . 已知函数
（1）讨论函数的单调性；
（2）若，求证：.

4 . 已知函数，.
（1）求的单调区间；
（2）当时，证明：；
（3）证明：.
（参考数据：自然对数的底数）

5 . 已知函数．
（1）若的极小值为，求实数的值；
（2）若，求证：．

6 . 已知函数是上的增函数.
（1）求的取值范围；
（2）已知：，且，证明：.

7 . 已知函数，其中.
（1）证明：；
（2）若，证明；
（3）用表示和中的较大值，设函数，讨论函数在上的零点的个数.

8 . 若数列满足“对任意正整数，都存在正整数，使得”，则称数列具有“性质”.已知数列为无穷数列.
（1）若为等比数列，且，判断数列是否具有“性质”，并说明理由；
（2）若为等差数列，且公差，求证：数列不具有“性质”；
（3）若等差数列具有“性质”，且，求数列的通项公式.

9 . 设函数.
（1）若当时取得极值，求的值以及函数的单调区间；
（2）若函数存在两个极值点，，证明：.

10 . 已知函数，．
（Ⅰ）若在内单调递减，求实数的取值范围；
（Ⅱ）若函数有两个极值点分别为，，证明：．