1 . 设非零向量,,并定义
(1)若,求;
(2)写出之间的等量关系,并证明;
(3)若,求证:集合是有限集.
(1)若,求;
(2)写出之间的等量关系,并证明;
(3)若,求证:集合是有限集.
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2 . 如果函数满足:对于任意,均有(m为正整数)成立,则称函数在D上具有“m级”性质.
(1)分别判断函数,,是否在R上具有“1级”性质,并说明理由;
(2)设函数在R具有“m级”性质,对任意的实数a,证明函数具有“m级”性质;
(3)若函数在区间以及区间()上都具有“1级”性质,求证:该函数在区间上具有“1级”性质.
(1)分别判断函数,,是否在R上具有“1级”性质,并说明理由;
(2)设函数在R具有“m级”性质,对任意的实数a,证明函数具有“m级”性质;
(3)若函数在区间以及区间()上都具有“1级”性质,求证:该函数在区间上具有“1级”性质.
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名校
3 . 若函数的定义域为,且对于任意的、,“”的充要条件是“”,则称函数为上的“单值函数”.对于函数,记
,,,…,,其中,2,3,…,并对任意的,记集合,并规定.
(1)若,函数的定义域为,求和;
(2)若函数的定义域为,且存在正整数,使得对任意的,,求证:函数为上的“单值函数”;
(3)设,若函数的定义域为,且表达式为:
判断是否为上的“单值函数”,并证明对任意的区间,存在正整数,使得.
,,,…,,其中,2,3,…,并对任意的,记集合,并规定.
(1)若,函数的定义域为,求和;
(2)若函数的定义域为,且存在正整数,使得对任意的,,求证:函数为上的“单值函数”;
(3)设,若函数的定义域为,且表达式为:
判断是否为上的“单值函数”,并证明对任意的区间,存在正整数,使得.
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解题方法
4 . 在数学中,不给出具体解析式,只给出函数满足的特殊条件或特征的函数称为“抽象函数”.我们需要研究抽象函数的定义域、单调性、奇偶性等性质.对于抽象函数,当时,,且满足:,均有
(1)证明:在上单调递增;
(2)若函数满足上述函数的特征,求实数的取值范围;
(3)若,求证:对任意,都有.
(1)证明:在上单调递增;
(2)若函数满足上述函数的特征,求实数的取值范围;
(3)若,求证:对任意,都有.
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名校
5 . 定理(三角不等式),对于任意的、,恒有.定义:已知且,对于有序数组、、、,称为有序数组、、、的波动距离,记作,即,请根据上述俼息解决以下几个问题:
(1)求函数的最小值,并指出函数取到最小值时的取值范围;
(2)①求有序数组、、、的波动距离;
②求证:若、、、且,则;题(注:该命题无需证明,需要时可直接使用).设两两不相等的四个实数、、、,求有序数组、、、的波动距离的最大值.
(1)求函数的最小值,并指出函数取到最小值时的取值范围;
(2)①求有序数组、、、的波动距离;
②求证:若、、、且,则;题(注:该命题无需证明,需要时可直接使用).设两两不相等的四个实数、、、,求有序数组、、、的波动距离的最大值.
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2022-08-22更新
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408次组卷
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7卷引用:上海市控江中学2021-2022学年高一上学期期中数学试题
上海市控江中学2021-2022学年高一上学期期中数学试题上海市高桥中学2022-2023学年高一上学期期中数学试题(已下线)期中模拟预测卷03(测试范围:前三章)-2022-2023学年高一数学上学期期中期末考点大串讲(沪教版2020必修第一册)(已下线)上海高一上学期期中【压轴42题专练】(2)(已下线)第二章 等式与不等式(压轴题专练)-速记·巧练(沪教版2020必修第一册)上海市吴淞中学2023-2024学年高一上学期期中数学试题(已下线)专题02 等式与不等式(练习)-2
名校
解题方法
6 . 已知函数与的定义域为R,若对任意区间,存在且,使,则是的生成函数.
(1)求证:是的生成函数;
(2)若是的生成函数,判断并证明的单调性;
(3)若是的生成函数,实数,求的一个生成函数.
(1)求证:是的生成函数;
(2)若是的生成函数,判断并证明的单调性;
(3)若是的生成函数,实数,求的一个生成函数.
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2023-05-05更新
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558次组卷
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4卷引用:上海交通大学附属中学2022-2023学年高一下学期期中数学试题
上海交通大学附属中学2022-2023学年高一下学期期中数学试题湖南省长沙市明德中学2022-2023学年高一下学期5月月考数学试题(已下线)第3课时 课后 函数的单调性(完成)(已下线)5.2.2 函数的单调性-数学同步精品课堂(沪教版2020必修第一册)
7 . 已知函数的定义域为,为大于的常数,对任意,都满足,则称函数在上具有“性质”.
(1)试判断函数和函数是否具有“性质”(无需证明);
(2)若函数具有“性质”,且,求证:对任意,都有;
(3)若函数的定义域为,且具有“性质”,试判断下列命题的真假,并说明理由,
①若在区间上是严格增函数,则此函数在上也是严格增函数;
②若在区间上是严格减函数,则此函数在上也是严格减函数.
(1)试判断函数和函数是否具有“性质”(无需证明);
(2)若函数具有“性质”,且,求证:对任意,都有;
(3)若函数的定义域为,且具有“性质”,试判断下列命题的真假,并说明理由,
①若在区间上是严格增函数,则此函数在上也是严格增函数;
②若在区间上是严格减函数,则此函数在上也是严格减函数.
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2023-01-12更新
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606次组卷
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6卷引用:上海市闵行区2022-2023学年高一上学期期末数学试题
上海市闵行区2022-2023学年高一上学期期末数学试题(已下线)专题10 指数及指数函数压轴题-【常考压轴题】(已下线)第五章 函数的概念、性质及应用(压轴必刷30题9种题型专项训练)-【满分全攻略】(沪教版2020必修第一册)(已下线)期末真题必刷压轴60题(10个考点专练)-【满分全攻略】(沪教版2020必修第一册)(已下线)期末真题必刷压轴60题(22个考点专练)-【满分全攻略】(人教A版2019必修第一册)(已下线)第四章 指数函数与对数函数-【优化数学】单元测试能力卷(人教A版2019)
名校
解题方法
8 . 对于定义域为R的函数,如果存在常数T,,使得是以T为周期的函数,则称函数为正弦周期函数,且称常数T为的正弦周期.
已知函数满足以下四个条件:
①函数是以T为正弦周期的正弦周期函数;
②函数的值域为R;
③函数在区间上单调递增:
④,
(1)分别判断函数、是否为正弦周期函数.如果是正弦周期函数,写出它的正弦周期,(不需证明).
(2)设,求证:对任意,存在唯一的使得.
(3)求证:对于任意的,都有.
已知函数满足以下四个条件:
①函数是以T为正弦周期的正弦周期函数;
②函数的值域为R;
③函数在区间上单调递增:
④,
(1)分别判断函数、是否为正弦周期函数.如果是正弦周期函数,写出它的正弦周期,(不需证明).
(2)设,求证:对任意,存在唯一的使得.
(3)求证:对于任意的,都有.
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解题方法
9 . 用光线照射物体,在某个平面上得到的影子叫做物体的投影,照射光线叫做投影线,投影所在的平面叫做投影面.由平行光线形成的投影叫做平行投影,由点光源发出的光线形成的投影叫做中心投影.投影线垂直于投影面产生的平行投影叫做正投影,投影线不垂直于投影而产生的平行投影叫做斜投影.物体投影的形状、大小与它相对于投影面的位置和角度有关.如图所示,已知平行四边形在平面内的平行投影是四边形.
(1)若平行四边形平行于投影面(如图),求证:四边形是平行四边形;
(2)在图中作出平面与平面的交线(保留作图痕迹,不需要写出过程);
(3)如图,已知四边形和平行四边形的面积分别为,平面与平面的交线是直线,且这个平行投影是正投影.设二面角的平面角为(为锐角),猜想并写出角的余弦值(用表示),再给出证明.
图
图
图
(1)若平行四边形平行于投影面(如图),求证:四边形是平行四边形;
(2)在图中作出平面与平面的交线(保留作图痕迹,不需要写出过程);
(3)如图,已知四边形和平行四边形的面积分别为,平面与平面的交线是直线,且这个平行投影是正投影.设二面角的平面角为(为锐角),猜想并写出角的余弦值(用表示),再给出证明.
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20-21高二下·上海浦东新·期末
名校
10 . 已知定义在R上的函数与.
(1)对于任意满足的实数p,q,r均有并判断函数的奇偶性,并说明理由
(2)函数与(均为奇函数,在上是增函数,在上是增函数,试判断函数与在R上是否是增函数?如果是请证明,如果不是请说明理由.
(3)函数与均为单调递增的一次函数,为整数当且仅当为整数.求证:对一切,为整数.
(1)对于任意满足的实数p,q,r均有并判断函数的奇偶性,并说明理由
(2)函数与(均为奇函数,在上是增函数,在上是增函数,试判断函数与在R上是否是增函数?如果是请证明,如果不是请说明理由.
(3)函数与均为单调递增的一次函数,为整数当且仅当为整数.求证:对一切,为整数.
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