1 . 已知分别是空间四边形的边的中点.

   

(1)用向量法证明四点共面；
(2)用向量法证明：平面；
(3)设是和的交点，求证：对空间任一点，有.

2 . 如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆的左、右顶点分别为，过左焦点的直线与椭圆交于点（点在点的上方）．

(1)求证：直线的斜率乘积为定值；
(2)过点分别作椭圆的切线，设两切线交于点，证明：．

3 . 如图，在四棱锥中，底面是边长为的菱形，，为正三角形，为的中点，且平面平面，是线段上的点．

(1)当点为线段的中点时，证明直线平面
(2)求证：；
(3)点在线段上，且，求直线与平面的夹角的正弦值

4 . 对于正实数a，b（），我们熟知基本不等式：，其中为a，b的几何平均数，为a，b的算术平均数.现定义a，b的对数平均数：.
(1)设，求证：，并证明；
(2)若不等式对任意正实数a，b（）恒成立，求正实数m的取值范围.

5 . 已知双曲线上有三点，且的中点分别为，设直线的斜率都存在，分别记为，且，直线的斜率都存在，分别记为，
（1）求证；
（2）类比（1）中结论，写出椭圆中类似的结论，并证明.

6 . 已知复数满足.
（1）求证：；
（2）若的虚部为正数，求，，，，根据的规律，求出的值（不需要证明）.

7 . 已知函数，．
（1）求函数的极大值；
（2）求证：；
（3）对于函数与定义域上的任意实数，若存在常数，，使得和都成立，则称直线为函数与的“分界线”．设函数，试探究函数与是否存在“分界线”？若存在，请加以证明，并求出，的值；若不存在，请说明理由．

8 . 已知函数，且函数在点处的切线为轴．
（1）当时，证明：；
（2）已知，，求证：．

9 . 请用综合法或分析法、反证法证明：
（1）如果，，则；
（2）若，，为正数且，求证：.

10 . 已知函数．
（1）证明：；
（2）设，在上的极值点从小到大排列为，求证：时，．