1 . 已知椭圆的上顶点为，圆.对于圆，给出两个性质：
①在圆上存在点，使得直线与椭圆相交于另一点，满足；
②对于圆上任意点，圆在点处的切线与椭圆交于，两点，都有.
(1)当时，判断圆是否满足性质①和性质②；（直接写出结论）
(2)已知当时，圆满足性质①，求点和点的坐标；
(3)是否存在，使得圆同时满足性质①和性质②，若存在，求出的值；若不存在，说明理由.

2 . 高一年级某班30名同学参加体能测试，给出下列三个判断：
①有人通过了体能测试：
②同学甲没有通过体能测试；
③有人没有通过体能测试.
若这三个判断中只有一个是真，则下列选项中正确的是（     ）

A．只有1名同学通过了体能测试	B．只有1名同学没有通过体能测试
C．30名同学都通过了体能测试	D．30名同学都没通过体能测试

3 . 北京的三条文化带——大运河文化带、长城文化带、西山永定河文化带，是北京文化脉络乃至中华文明的精华所在.为了让同学们了解这三条文化带的内涵，现从4名老师中选3名老师，每人讲述一条文化带，每条文化带由一名老师讲述，则不同的分配方案种数是__________.

4 . 某网站为研究新闻点击量的变化情况，收集得到了该网站连续30天的新闻点击量变化数据，如下表所示.在描述新闻点击量变化时，用“↑”表示“上涨”，即当天新闻点击量比前一天新闻点击量高；用“↓”表示“下降”，即当天新闻点击量比前一天新闻点击量低；用“－”表示“不变”，即当天新闻点击量与前一天新闻点击量相同.

时段

新闻点击量

第1天到第15天

↑

-

↑

↓

↑

-

↓

↑

-

↓

↑

↓

-

↓

↓

第16天到第30天

-

↑

-

↑

-

↑

↓

↑

↓

↑

-

↓

↑

↓

↑

用频率估计概率.
(1)试估计该网站新闻点击量“下降”的概率；
(2)从样本中的前15天和后15天中各随机抽取1天，记表示其中该网站新闻点击量“上涨”的天数，求的分布列和数学期望；
(3)从样本给出的30天中任取1天，用“”表示该天新闻点击量“上涨”，“”表示该天新闻点击量“下降”或“不变”，然后继续统计接下来的10天的新闻点击量，其中有6天“上涨”、3天“下降”、1天“不变”，相应地，从这40天中任取1天，用“”表示该天新闻点击量“上涨”，“”表示该天新闻点击量“下降”或“不变”，直接写出方差，大小关系.

5 . 《九章算术》中的方亭指的是正四面形棱台体建筑物，正四面形棱台即今天的正四棱台.如图，某方亭的上底面与下底面的边长分别为4和8，每个侧面与下底面夹角的正切值均为，则方亭的侧面积为（       ）

A．

B．

C．

D．

6 . 已知某班级中，喜欢文学阅读的学生占75%，喜欢文学阅读而且喜欢科普阅读的学生占30%.若从这个班级的学生中任意抽取一人、则在抽到的学生喜欢文学阅读的条件下，该学生也喜欢科普阅读的概率为（       ）

A．22.5%

B．30%

C．40%

D．75%

7 . 已知为有穷正整数数列，且，集合．若存在，使得，则称为可表数，称集合为可表集．
(1)若，判定31，1024是否为可表数，并说明理由；
(2)若，证明：；
(3)设，若，求的最小值．

8 . 某汽车生产企业对一款新上市的新能源汽车进行了市场调研，统计该款车车主对所购汽车性能的评分，将数据分成5组：，并整理得到如下频率分布直方图：

(1)求的值；
(2)该汽车生产企业在购买这款车的车主中任选3人，对评分低于110分的车主送价值3000元的售后服务项目，对评分不低于110分的车主送价值2000元的售后服务项目．若为这3人提供的售后服务项目总价值为元，求的分布列和数学期望；
(3)用随机抽样的方法从购买这款车的车主中抽取10人，设这10人中评分不低于110分的人数为，问为何值时，的值最大？（结论不要求证明

9 . 设有限集合，对于集合，给出两个性质：
①对于集合A中任意一个元素，当时，在集合A中存在元素，使得，则称A为的封闭子集；
②对于集合A中任意两个元素，都有，则称A为的开放子集.
(1)若，集合，判断集合为的封闭子集还是开放子集；（直接写出结论）
(2)若，且集合A为的封闭子集，求的最小值；
(3)若，且为奇数，集合A为的开放子集，求的最大值.

10 . 2022年11月29日23时08分，搭载神舟十五号载人飞船的长征二号F遥十五运载火箭在酒泉卫星发射中心点火发射成功，实现了两个飞行乘组首次太空“会师”.下表记录了我国已发射成功的所有神舟飞船的发射时间和飞行时长.

名称	发射时间	飞行时长
神舟一号	1999年11月20日	21小时11分
神舟二号	2001年1月10日	6天18小时22分
神舟三号	2002年3月25日	6天18小时39分
神舟四号	2002年12月30日	6天18小时36分
神舟五号	2003年10月15日	21小时28分
神舟六号	2005年10月12日	4天19小时32分
神舟七号	2008年9月25日	2天20小时30分
神舟八号	2011年11月1日	16天
神舟九号	2012年6月16日	13天
神舟十号	2013年6月11日	15天
神舟十一号	2016年10月17日	32天
神舟十二号	2021年6月17日	3个月
神舟十三号	2021年10月16日	6个月
神舟十四号	2022年6月5日	6个月
神舟十五号	2022年11月29日	预计6个月

为帮助同学们了解我国神舟飞船的发展情况，某学校“航天社团”准备通过绘画､海报､数据统计图表等形式宣传“神舟系列飞船之旅”.
(1)绘画组成员从表中所有的神舟飞船中随机选取1艘进行绘画，求选中的神舟飞船的发射时间恰好是在10月份的概率；
(2)海报组成员从飞行时长（包括预计飞行时长）大于30天的神舟飞船中随机选取2艘制作海报，求选中的神舟飞船的飞行时长（包括预计飞行时长）均为6个月的概率；
(3)数据统计组成员在2022年5月计算了已经完成飞行任务的神舟飞船的飞行时长平均值，记为年12月30日又计算了已经完成飞行任务的神舟飞船的飞行时长平均值，记为.试判断和的大小.（结论不要求证明）