1 . 已知函数．
(1)求的单调区间；
(2)证明：；
(3)若函数有三个不同的零点，求的取值范围．

2 . 已知椭圆 的短轴长为，分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆上的一点，且的周长为.
(1)求椭圆的方程；
(2)过作垂直于轴的直线与椭圆交于 两点（点在第一象限），是椭圆上位于直线两侧的动点，始终保持，求证：直线的斜率为定值.

3 . 已知抛物线方程为:，焦点为.圆的方程为，设为抛物线上的点， 为圆上的一点，则的最小值为（       ）

A．6

B．7

C．8

D．9

4 . 已知正方形边长为4，将沿向上翻折，使点与点重合，设点为翻折过程中点的位置（不包含在点处的位置），则下列说法正确的有（        ）

A．无论点在何位置，总有

B．直线与平面所成角的最大值为

C．三棱锥体积的范围为

D．当平面平面时，三棱锥的内切球的半径为

6 . 已知直三棱柱中，，分别为和的中点，为棱上的动点，.

(1)证明：平面平面；
(2)设，是否存在实数，使得平面与平面所成的角的余弦值为?

7 . 某市共有教师1000名，为了解老师们的寒假研修学习情况，评选研修先进个人，现随机抽取了10名教师利用“学习APP”学习的时长数据（单位：小时）：35，43，90，83，50，45，82，75，62，35.学习时长不低于80小时的教师评为“研修先进个人”.
(1)现从该样本中随机抽取3名教师的学习时长，求这3名教师中恰有1名教师是研修先进个人的概率.
(2)若该市所有教师的学习时长近似地服从正态分布，其中，为抽取的10名教师学习时长的样本平均数，利用所得正态分布模型解决以下问题：
①试估计学习时长不低于50小时的教师的人数（结果四舍五入到整数）；
②若从该市随机抽取的n名教师中恰有ξ名教师的学习时长在内，则当的均值不小于32时，n的最小值为多少？
附：若随机变量服从正态分布 ，则，，.

8 . 已知的内角的对边分别是，且.
(1)判断的形状；
(2)若的外接圆半径为，求周长的最大值.

9 . 如图，四边形是边长为1的正方形，延长CD至E，使得．动点P从点A出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到A点，，则的取值范围为___________．

10 . 已知双曲线 的左右焦点分别为，过点的直线交双曲线右支于两点，且，，则双曲线的离心率为______________