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1 . 设
和
是两个等差数列，记
，其中
表示
，
，
，
这
个数中最大的数．
(1)若
，
，求
，
，
的值；
(2)若为常数列，证明
是等差数列；
(3)证明：或者对任意正数
，存在正整数
，当
时，
；或者存在正整数，使得
，
，
，，是等差数列．
和是两个等差数列，记，其中表示，，，这个数中最大的数．(1)若
，，求，，的值；(2)若
为常数列，证明是等差数列；(3)证明：或者对任意正数
，存在正整数，当时，；或者存在正整数，使得，，，，是等差数列．
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解题方法
2 . 为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查了100天空气中的
和
浓度（单位：
），得下表：
(1)估计事件“该市一天空气中浓度不超过75，且浓度不超过150的概率；
(2)根据所给数据，完成下面的
列联表：
并判断，该市一天空气中浓度与浓度是否有关？
附：
．
和浓度（单位：），得下表：
|  |  |  |
 | 32 | 18 | 4 |
 | 6 | 8 | 12 |
 | 3 | 7 | 10 |
浓度不超过75，且浓度不超过150的概率；(2)根据所给数据，完成下面的
列联表：
|  | |
 | ||
|
浓度与浓度是否有关？附：
．
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解题方法
3 . 已知椭圆
的离心率为
，左右焦点分别为
，是椭圆上一点，
，
．
(1)求椭圆的方程；
(2)过点
的直线与椭圆交于
两点，
为线段
中点．
（i）求证：点轨迹方程为
；
（ii）
为坐标原点，射线
与椭圆交于点
，点
为直线上一动点，且
，求证：点在定直线上．
的离心率为，左右焦点分别为，是椭圆上一点，，．(1)求椭圆的方程；
(2)过点
的直线与椭圆交于两点，为线段中点．（i）求证：
点轨迹方程为；（ii）
为坐标原点，射线与椭圆交于点，点为直线上一动点，且，求证：点在定直线上．
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4 . 如图，在圆锥
中，P是圆锥的顶点，O是圆锥底面圆的圆心，
是圆锥底面圆的直径，等边三角形
是圆锥底面圆的内接三角形，
是圆锥母线
的中点，
，
.
平面
；
(2)设线段
与交于点，求直线
与平面
所成角的正弦值.
中，P是圆锥的顶点，O是圆锥底面圆的圆心，是圆锥底面圆的直径，等边三角形是圆锥底面圆的内接三角形，是圆锥母线的中点，，.
平面；(2)设线段
与交于点，求直线与平面所成角的正弦值.
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解题方法
5 . 设
的内角A、B、C所对边分别为a、b、c，若
.
(1)求证：a、b、c成等差数列；
(2)若
均为整数，且存在唯一的钝角满足条件，求角C的大小.
的内角A、B、C所对边分别为a、b、c，若.(1)求证：a、b、c成等差数列；
(2)若
均为整数，且存在唯一的钝角满足条件，求角C的大小.
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解题方法
6 . 已知椭圆
：
的左、右焦点分别为
、
，焦距为
，点
在上.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)已知点
，点为椭圆上一点，求
周长的最大值；
(3)过的右焦点，且斜率不为零的直线
交于、
两点，求
面积的最大值.
：的左、右焦点分别为、，焦距为，点在上.(1)求椭圆
的标准方程；(2)已知点
，点为椭圆上一点，求周长的最大值；(3)过
的右焦点，且斜率不为零的直线交于、两点，求面积的最大值.
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7 . 若曲线C的切线l与曲线C共有n个公共点（其中
，
），则称l为曲线C的“
”.
(1)若曲线
在点
处的切线为
，另一个公共点的坐标为
，求
的值；
(2)求曲线
所有
的方程；
(3)设
，是否存在
，使得曲线在点
处的切线为
？若存在，探究满足条件的t的个数，若不存在，说明理由．
，），则称l为曲线C的“”.(1)若曲线
在点处的切线为，另一个公共点的坐标为，求的值；(2)求曲线
所有的方程；(3)设
，是否存在，使得曲线在点处的切线为？若存在，探究满足条件的t的个数，若不存在，说明理由．
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解题方法
8 . 已知双曲线
：
的左、右焦点分别为、．
(1)若的长轴长为2，焦距为4，求的渐近线方程：
(2)若
，双曲线左支上任意点T均满足
，求a的最大值；
(3)若双曲线的左支上存在点P、右支上存在点Q满足
，求的离心率
的取值范围．
：的左、右焦点分别为、．(1)若
的长轴长为2，焦距为4，求的渐近线方程：(2)若
，双曲线左支上任意点T均满足，求a的最大值；(3)若双曲线
的左支上存在点P、右支上存在点Q满足，求的离心率的取值范围．
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解题方法
9 . 某集团投资一工厂，第一年年初投入资金5000万元作为初始资金，工厂每年的生产经营能使资金在年初的基础上增长50%．每年年底，工厂向集团上缴
万元，并将剩余资金全部作为下一年的初始资金，设第n年的初始资金为
万元．
(1)判断
是否为等比数列？并说明理由；
(2)若工厂某年的资金不足以上缴集团的费用，则工厂在这一年转型升级．设
，则该工厂在第几年转型升级？
万元，并将剩余资金全部作为下一年的初始资金，设第n年的初始资金为万元．(1)判断
是否为等比数列？并说明理由；(2)若工厂某年的资金不足以上缴集团的费用，则工厂在这一年转型升级．设
，则该工厂在第几年转型升级？
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解题方法
10 . 掷两颗骰子，观察掷得的点数．
(1)设A：掷得的两个点数之和为偶数，B：掷得的两个点数之积为偶数，判断A、B是否相互独立．并说明理由；
(2)已知甲箱中有3个白球，2个黑球；乙箱中有2个白球，3个黑球．若掷骰子所得到的两个点数奇偶性不同，则从甲箱中任取两个球；若所得到的两个点数奇偶性相同，则从乙箱中任取两个球、求取出白球个数的分布和期望．
(1)设A：掷得的两个点数之和为偶数，B：掷得的两个点数之积为偶数，判断A、B是否相互独立．并说明理由；
(2)已知甲箱中有3个白球，2个黑球；乙箱中有2个白球，3个黑球．若掷骰子所得到的两个点数奇偶性不同，则从甲箱中任取两个球；若所得到的两个点数奇偶性相同，则从乙箱中任取两个球、求取出白球个数的分布和期望．
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