1 . 小李参加一种红包接龙游戏：他在红包里塞了元，然后发给朋友，如果猜中，将获得红包里的所有金额；如果未猜中，将当前的红包转发给朋友，如果猜中，、平分红包里的金额；如果未猜中，将当前的红包转发给朋友，如果猜中，、和平分红包里的金额；如果未猜中，红包里的钱将退回小李的账户，设、、猜中的概率分别为，，，且、、是否猜中互不影响．
(1)求恰好获得元的概率；
(2)设获得的金额为元，求的分布列及的数学期望．

2 . 在中，内角，，所对的边分别为，，，已知．
(1)求角的大小；
(2)若，且，求的面积．

3 . 已知函数，.
(1)若曲线在处的切线与直线相互垂直，求的值；
(2)若，求函数的极值.

4 . 已知函数．
(1)若曲线在点处的切线方程为，求和的值；
(2)若有极大值，且极大值大于，求的取值范围．

5 . 第十五届全国运动会将于2025年在广东、香港、澳门三地举办．为了普及全运知识，某大学举办了一次全运知识闯关比赛，比赛分为初赛与复赛，初赛胜利后才能参加复赛，初赛规定：三人组队参赛，每次只派一个人，且每人只派一次；如果一个人闯关失败，再派下一个人重新闯关；三人中只要有人闯关成功即视作初赛胜利，无需继续闯关．现有甲、乙、丙三人组队参加初赛，他们各自闯关成功的概率分别为，假定互不相等，且每人能否闯关成功相互独立．
(1)若计划依次派甲、乙、丙进行初赛闯关，，求该小组初赛胜利的概率；
(2)已知，若乙只能安排在第二个派出，要使初赛派出人员数目的期望较小，试确定甲、丙谁先派出；
(3)初赛胜利小组的三名成员都可以进入复赛，复赛规定：单人参赛，每个人回答三道题，全部答对获得一等奖；答对两道题获得二等奖；答对一道题获得三等奖；全部答错不获奖，已知某学生进入了复赛，他在复赛中前两道题答对的概率均为，第三道题答对的概率为．若他获得一等奖的概率为，设他获得二等奖的概率为，求的最小值．

6 . 如图，在直四棱柱中，底面四边形为梯形，，.

(1)证明： ;
(2)若直线 与平面 所成角的正弦值为 ，点 为线段 上一点，求点到平面 的距离.

7 . 已知双曲线的实轴长为，点在双曲线上.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)过点且斜率为的直线与双曲线的另一个交点为，求.

8 . 如图（1），在中，，点为的中点.将沿折起到的位置，使，如图（2）.

(1)求证：.
(2)在线段上是否存在点，使得？若存在，求二面角的正弦值；若不存在，请说明理由.

9 . 设函数.
(1)讨论函数的单调性；
(2)当函数有最大值，且最大值小于时，求的取值范围.

10 . 已知分别为内角的对边，且.
(1)求角A；
(2)若，求边.