1 . 已知函数
.
(1)若
在
上单调递增，求实数a的取值范围；
(2)当
时，若
，
满足
，求证：
；
(3)已知
，证明：当
，方程
在
有两个实根.
.(1)若
在上单调递增，求实数a的取值范围；(2)当
时，若，满足，求证：；(3)已知
，证明：当，方程在有两个实根.
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2 . 在圆
上任取一点
，过点作
轴的垂线，垂足为
，点
满足
，当点在圆
上运动时，点的轨迹为曲线
，过点
且斜率不为
的直线
与曲线交于
，
两点.
(1)求曲线的方程；
(2)求
面积的最大值；
(3)已知点
，设直线
，
的斜率分别为
，
，是否存在实数
，使得
为定值？若存在，求出
值，若不存在，请说明理由.
上任取一点，过点作轴的垂线，垂足为，点满足，当点在圆上运动时，点的轨迹为曲线，过点且斜率不为的直线与曲线交于，两点.(1)求曲线
的方程；(2)求
面积的最大值；(3)已知点
，设直线，的斜率分别为，，是否存在实数，使得为定值？若存在，求出值，若不存在，请说明理由.
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解题方法
3 . 若给定数列
，对于任意的
，若满足
，则称为“
型数列”．若数列满足：
，
，当
时，
．
(1)判断数列
是否为“型数列”，并证明；
(2)求数列的通项公式；
(3)若
，
，使不等式
成立，求实数
的取值范围．
，对于任意的，若满足，则称为“型数列”．若数列满足：，，当时，．(1)判断数列
是否为“型数列”，并证明；(2)求数列
的通项公式；(3)若
，，使不等式成立，求实数的取值范围．
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4 . 已知
，
，平面内动点P满足
.
(1)求动点P的轨迹C的方程；
(2)动直线交C于A、B两点，O为坐标原点，直线
和
的倾斜角分别为
和
，若
，求证直线过定点，并求出该定点坐标；
(3)设（2）中定点为Q，记
与
的面积分别为
和
，求
的取值范围.
，，平面内动点P满足.(1)求动点P的轨迹C的方程；
(2)动直线
交C于A、B两点，O为坐标原点，直线和的倾斜角分别为和，若，求证直线过定点，并求出该定点坐标；(3)设（2）中定点为Q，记
与的面积分别为和，求的取值范围.
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解题方法
5 . 甲、乙两同学进行射击比赛，已知甲射击一次命中的概率为
，乙射击一次命中的概率为
，比赛共进行
轮次，且每次射击结果相互独立，现有两种比赛方案，方案一：射击次，每次命中得2分，未命中得0分；方案二：从第一次射击开始，若本次命中，则得6分，并继续射击；若本次未命中，则得0分，并终止射击．
(1)设甲同学在方案一中射击轮次总得分为随机变是
，求
；
(2)甲、乙同学分别选取方案一、方案二进行比赛，试确定
的最小值，使得当
时，甲的总得分期望大于乙．
，乙射击一次命中的概率为，比赛共进行轮次，且每次射击结果相互独立，现有两种比赛方案，方案一：射击次，每次命中得2分，未命中得0分；方案二：从第一次射击开始，若本次命中，则得6分，并继续射击；若本次未命中，则得0分，并终止射击．(1)设甲同学在方案一中射击
轮次总得分为随机变是，求；(2)甲、乙同学分别选取方案一、方案二进行比赛，试确定
的最小值，使得当时，甲的总得分期望大于乙．
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6 . 如图抛物线
，过
有两条直线
与抛物线交于
与抛物线交于
，
斜率为1，求
；
(2)是否存在抛物线上定点，使得
，若存在，求出点坐标并证明，若不存在，请说明理由；
(3)直线
与直线
相交于
两点，证明：
为
中点.
，过有两条直线与抛物线交于与抛物线交于，
斜率为1，求；(2)是否存在抛物线
上定点，使得，若存在，求出点坐标并证明，若不存在，请说明理由；(3)直线
与直线相交于两点，证明：为中点.
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解题方法
7 . （1）若
，
，求的取值范围；
（2）证明：
；
（3）估计
的值（保留小数点后3位）．
已知
，
，，求的取值范围；（2）证明：
；（3）估计
的值（保留小数点后3位）．已知
，
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解题方法
8 . 已知
，在平面直角坐标系
中有一个点阵，点阵中所有点的集合为
，从集全中任取两个不同的点，用随机变量
表示它们之间的距离．
(1)当
时，求的分布列及期望．
(2)对给定的正整数
．
（ⅰ）求随机变量的所有可能取值的个数（用含有的式子表示）；
（ⅱ）求概率
（用含有的式子表示）．
，在平面直角坐标系中有一个点阵，点阵中所有点的集合为，从集全中任取两个不同的点，用随机变量表示它们之间的距离．(1)当
时，求的分布列及期望．(2)对给定的正整数
．（ⅰ）求随机变量
的所有可能取值的个数（用含有的式子表示）；（ⅱ）求概率
（用含有的式子表示）．
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9 . 南宋的数学家杨辉“善于把已知形状、大小的几何图形的求面积，体积的连续量问题转化为求离散变量的垛积问题”．在他的专著《详解九章算法·商功》中，杨辉将堆垛与相应立体图形作类比，推导出了三角垛、方垛、刍薨垛、刍童垛等的公式．如图，“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球……第
层球数是第n层球数与的和，设各层球数构成一个数列．的通项公式；
(2)证明：当
时，
(3)若数列
满足
，对于
，证明：
．
层球数是第n层球数与的和，设各层球数构成一个数列．
的通项公式；(2)证明：当
时，(3)若数列
满足，对于，证明：．
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解题方法
10 . 如图，圆I的半径为4，圆心
，G是圆I上任意一点，定点
，线段GK的垂直平分线和半径IG相交于点H，当点G在圆上运动时，动点H运动轨迹为
．的方程；
(2)设动直线
与轨迹有且只有一个公共点P，且与直线
相交于点Q，试探究：在x轴上是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．
，G是圆I上任意一点，定点，线段GK的垂直平分线和半径IG相交于点H，当点G在圆上运动时，动点H运动轨迹为．
的方程；(2)设动直线
与轨迹有且只有一个公共点P，且与直线相交于点Q，试探究：在x轴上是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．
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