1 . 设
是
次实系数多项式，其中
．证明：若的个根都是实数，则
的个根也都是实数．
是次实系数多项式，其中．证明：若的个根都是实数，则的个根也都是实数．
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2 . 在
中，
是
中点，
是射线
上的一点.
(1)如图1，连接
并延长交
于点
，求
的值；
(2)如图2，
交
于点
，且
，求
的值.
中，是中点，是射线上的一点.(1)如图1，连接
并延长交于点，求的值；(2)如图2，
交于点，且，求的值.
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解题方法
3 . 已知函数
，其中
为常数．
(1)当
时，解不等式
的解集；
(2)当
时，写出函数
的单调区间；
(3)若在
上存在2021个不同的实数
，
，使得
，求实数的取值范围．
，其中为常数．(1)当
时，解不等式的解集；(2)当
时，写出函数的单调区间；(3)若在
上存在2021个不同的实数，，使得，求实数的取值范围．
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解题方法
4 . 已知函数
，数列
各项均为正数，且数列
、
满足：
，
，
.
(1)设
，
，若是无穷等比数列，求数列的通项公式；
(2)若对于给定的
满足
，问：是否存在递减数列，使得是无穷等比数列？若存在，求出
的取值范围，若不存在，说明理由；
(3)当
时，为公差不为0的等差数列且其前
的和为0；若对任意满足条件
的数列，其前项的和
均不超过
，求正整数
的最大值.
，数列各项均为正数，且数列、满足：，，.(1)设
，，若是无穷等比数列，求数列的通项公式；(2)若对于给定的
满足，问：是否存在递减数列，使得是无穷等比数列？若存在，求出的取值范围，若不存在，说明理由；(3)当
时，为公差不为0的等差数列且其前的和为0；若对任意满足条件的数列，其前项的和均不超过，求正整数的最大值.
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解题方法
5 . 设函数
．
(1)求
的值和
的解析式；
(2)是否存在非负实数，使得
恒成立，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由；
(3)定义
，且
（
），
①当
时，求
的解析式；
②已知下列正确的命题：当
（
，
）时，都有
恒成立；对于给定的正整数，若方程
恰有
个不同的实数根，确定
的取值范围，若将这些根从小到大排列组成数列
（
），求数列所有项的和．
．(1)求
的值和的解析式；(2)是否存在非负实数
，使得恒成立，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由；(3)定义
，且（），①当
时，求的解析式；②已知下列正确的命题：当
（，）时，都有恒成立；对于给定的正整数，若方程恰有个不同的实数根，确定的取值范围，若将这些根从小到大排列组成数列（），求数列所有项的和．
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解题方法
6 . 已知斜率为k的直线l与抛物线y2=4x交于A､B两点，y轴上的点P使得△ABP是等边三角形.
(1)若k>0，证明：点P在y轴正半轴上；
(2)当
取到最大值时，求实数k的值.
(1)若k>0，证明：点P在y轴正半轴上；
(2)当
取到最大值时，求实数k的值.
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7 . 对任意正整数
，各项均不相同的数列
：
，
，
，…，
，
满足下列性质：①
，当
时，
，其中
是小于n且与n的最大公约数是1的正整数的个数；②
，
，
，
，
，
；③对任意
，2，…，
，
，
均为正整数
；④对任意，2，…，，
，
，其中
，
表示不超过
的最大整数，如
.例如
：0，
，1.
(1)对任意，2，…，，求证：
；
(2)写出
，
及数列
，
；
(3)求
的值.
，各项均不相同的数列：，，，…，，满足下列性质：①，当时，，其中是小于n且与n的最大公约数是1的正整数的个数；②，，，，，；③对任意，2，…，，，均为正整数；④对任意，2，…，，，，其中，表示不超过的最大整数，如.例如：0，，1.(1)对任意
，2，…，，求证：；(2)写出
，及数列，；(3)求
的值.
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8 . 已知无穷数列，
，
，当
时
（1）已知
，
，写出
，
，
的值；
（2）求证：
或
；
（3）求证：数列为有界数列
无穷数列，，，当时（1）已知
，，写出，，的值；（2）求证：
或；（3）求证：数列
为有界数列
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2021-10-21更新
|
345次组卷
|
2卷引用：北京市清华大学附属中学2022届高三10月月考数学试题
20-21高二·全国·单元测试
解题方法
9 . 已知二次函数
，关于的不等式
的解集为
，其中为非零常数，设
.
（1）求的值；
（2）
如何取值时，函数
存在极值点，并求出极值点.
（3）若
，且
，求证：
.
，关于的不等式的解集为，其中为非零常数，设.（1）求
的值；（2）
如何取值时，函数存在极值点，并求出极值点.（3）若
，且，求证：.
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解题方法
10 . 抛物线
：
在第一象限上一点
，过作抛物线的切线交
轴于点
，过作
的垂线交抛物线于
，（在第四象限）两点，交于点．
（1）求证：
过定点；
（2）若
，求
的最小值．
：在第一象限上一点，过作抛物线的切线交轴于点，过作的垂线交抛物线于，（在第四象限）两点，交于点．（1）求证：
过定点；（2）若
，求的最小值．
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