1 . 已知椭圆的离心率为，A、B分别为椭圆的左、右顶点，为椭圆的右焦点，过的直线与椭圆交于不同的两点M、N；当直线垂直于轴时，四边形的面积为2.
(1)求椭圆C的方程；
(2)若直线l的斜率为，线段的垂直平分线与轴交于点，求证：为定值.

2 . 已知函数.
(1)若函数在上单调递减，求出实数的取值范围；
(2)若方程在上有两个不同的实数根，求实数的取值范围.

3 . 已知函数，．当时，在上的最大值为．
(1)求实数a的值；
(2)，有．当时，求的最大值．

4 . 已知双曲线：的焦点到渐近线的距离为．如果双曲线的顶点和焦点分别是椭圆的焦点和顶点．
(1)求椭圆的方程；
(2)设椭圆的左右焦点分别是、，点P为椭圆上一点，过点作轴的垂线（不过点）交椭圆于点，连接延长交椭圆于点，连接．试判断直线是否过定点，如果过定点，求出定点坐标；如果不过定点，请说明理由．

5 . 设函数．
(1)当a =1时，求曲线在点处的切线方程；
(2)若在x =2处取得极小值，求a的取值范围．

6 . 已知函数，．
(1)若曲线在点处的切线方程为，求，的值；
(2)在（1）的条件下，当时，恒成立，求实数的取值范围．

7 . 已知椭圆的离心率为，，分别为椭圆的左、右顶点，为椭圆的右焦点，过的直线与椭圆交于不同的两点，，当直线垂直于轴时，四边形的面积为．
(1)求椭圆的方程；
(2)若直线的斜率为，线段的垂直平分线与轴交于点．求证：为定值．

8 . 设函数，，．
（1）若，，求的最值；
（2）若及，总有成立，求实数的取值范围．

9 . 已知函数.
（1）求的定义域；
（2）若函数，且对任意的，，恒成立，求实数a的取值范围.

10 . 已知函数.
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）当时，证明: （其中e为自然对数的底数）.