1 . 若数列满足，数列为数列，记.
（1）写出一个满足，且的数列；
（2）若，，证明：数列是递增数列的充要条件是；
（3）对任意给定的整数，是否存在首项为0的数列，使得？如果存在，写出一个满足条件的数列；如果不存在，说明理由.

2 . 设为正整数，区间（其中，）同时满足下列两个条件：
①对任意，存在使得；
②对任意，存在，使得（其中）．
（Ⅰ）判断能否等于或；（结论不需要证明）．
（Ⅱ）求的最小值；
（Ⅲ）研究是否存在最大值，若存在，求出的最大值；若不存在，说明理由．

3 . 在一个有穷数列的每相邻两项之间插入这两项的和，形成新的数列，我们把这样的操作称为该数列的一次“Z拓展”.如数列1，2第1次“Z拓展”后得到数列1，3，2，第2次“Z拓展”后得到数列1，4，3，5，2.设数列a，b，c经过第n次“Z拓展”后所得数列的项数记为P_n，所有项的和记为S_n.
（1）求P₁，P₂；
（2）若P_n≥2020，求n的最小值；
（3）是否存在实数a，b，c，使得数列{S_n}为等比数列？若存在，求a，b，c满足的条件；若不存在，说明理由.

4 . 已知数列，且.若是一个非零常数列，则称是一阶等差数列，若是一个非零常数列，则称是二阶等差数列.
（1）已知，试写出二阶等差数列的前五项；
（2）在（1）的条件下，证明：；
（3）若的首项，且满足，判断是否为二阶等差数列.

5 . 若函数对任意的，均有，则称函数具有性质．
（1）判断下面两个函数是否具有性质，并说明理由．①；②．
（2）若函数具有性质，且，求证：对任意有；
（3）在（2）的条件下，是否对任意均有．若成立给出证明，若不成立给出反例．

6 . 对于非负整数集合（非空），若对任意，或者，或者，则称为一个好集合．以下记为的元素个数．
（1）给出所有的元素均小于的好集合．（给出结论即可）
（2）求出所有满足的好集合．（同时说明理由）
（3）若好集合满足，求证：中存在元素，使得中所有元素均为的整数倍．

7 . 已知集合，对于，，定义A与B的差为；A与B之间的距离为．
（I）若，试写出所有可能的A，B；
（II），证明：
（i）；
（ii）三个数中至少有一个是偶数；
（III）设，中有m（，且为奇数）个元素，记P中所有两元素间距离的平均值为，证明：．

8 . 设等差数列的首项为0，公差为a，；等差数列的首项为0，公差为b，.由数列和构造数表M，与数表；
记数表M中位于第i行第j列的元素为，其中，（i，j=1，2，3，…）.
记数表中位于第i行第j列的元素为，其中（，，）.如：，.
（1）设，，请计算，，；
（2）设，，试求，的表达式（用i，j表示），并证明：对于整数t，若t不属于数表M，则t属于数表；
（3）设，，对于整数t，t不属于数表M，求t的最大值.

9 . 如图，设A是由个实数组成的n行n列的数表，其中a_ij (i，j=1，2，3，…，n)表示位于第i行第j列的实数，且a_ij{1，-1}.记S(n，n)为所有这样的数表构成的集合．对于，记r_i (A)为A的第i行各数之积，c_j (A)为A的第j列各数之积．令

a11	a12	…	a1n
a21	a22		a2n
…	…	…	…
an1	an2	…	ann

（Ⅰ）请写出一个AS(4，4)，使得l(A)=0；
（Ⅱ）是否存在AS(9，9)，使得l(A)=0？说明理由；
（Ⅲ）给定正整数n，对于所有的AS(n，n)，求l(A)的取值集合．

10 . 定义：首项为且公比为正数的等比数列为“数列”.
（Ⅰ）已知等比数列（）满足：，，判断数列是否为“数列”；
（Ⅱ）设为正整数，若存在“数列”（ ），对任意不大于的正整数，都有成立，求的最大值.