1 . 已知函数.
(1)当时,求的单调区间;
(2)若函数的值域为,求的取值范围.
(1)当时,求的单调区间;
(2)若函数的值域为,求的取值范围.
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2 . 已知点A(−2,0),B(2,0),动点M(x,y)满足直线AM与BM的斜率之积为−.
(1)求M的轨迹;
(2)过坐标原点的直线交M的轨迹于P,Q两点,点P在第一象限,PE⊥x轴,垂足为E,连结QE并延长交M的轨迹于点G.
①证明:是直角三角形;
②求面积的最大值.
(1)求M的轨迹;
(2)过坐标原点的直线交M的轨迹于P,Q两点,点P在第一象限,PE⊥x轴,垂足为E,连结QE并延长交M的轨迹于点G.
①证明:是直角三角形;
②求面积的最大值.
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3 . 已知圆过点,圆心在直线上,截轴弦长为.
(1)求圆的方程;
(2)若圆半径小于,点在该圆上运动,点,记为过、两点的弦的中点,求的轨迹方程;
(3)在(2)的条件下,若直线与直线交于点,证明:恒为定值.
(1)求圆的方程;
(2)若圆半径小于,点在该圆上运动,点,记为过、两点的弦的中点,求的轨迹方程;
(3)在(2)的条件下,若直线与直线交于点,证明:恒为定值.
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4 . 如图,已知:为椭圆长轴的两个端点,是椭圆C上不同于A,B的一点,从原点O向圆作两条切线分别交椭圆C于点M,N,记直线的斜率分别为,
(1)若圆P与x轴相切于椭圆C的右焦点,求圆P的半径.
(2)若,求半径r的值.
(1)若圆P与x轴相切于椭圆C的右焦点,求圆P的半径.
(2)若,求半径r的值.
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5 . 如图,在长方体中,,点E在上,且
(1)求直线与所成角的余弦值.
(2)在图中画出面与面的交线并求出该交线在长方体内部的长度.
(3)求点到平面的距离.
(1)求直线与所成角的余弦值.
(2)在图中画出面与面的交线并求出该交线在长方体内部的长度.
(3)求点到平面的距离.
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6 . 已知二次函数.
(1)若对于任意,且为偶函数,求;
(2)设为函数与x轴的两个交点的横坐标,且,,且当时,的最小值为,求的最大值.
(1)若对于任意,且为偶函数,求;
(2)设为函数与x轴的两个交点的横坐标,且,,且当时,的最小值为,求的最大值.
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7 . 已知(且)是上的奇函数,且
(1)求的解析式;
(2)把区间等分成份,记等分点的横坐标依次为,,记,是否存在正整数n,使不等式有解?若存在,求出所有n的值,若不存在,说明理由;
(3)函数在区间上的值域是,求的取值范围.
(1)求的解析式;
(2)把区间等分成份,记等分点的横坐标依次为,,记,是否存在正整数n,使不等式有解?若存在,求出所有n的值,若不存在,说明理由;
(3)函数在区间上的值域是,求的取值范围.
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8 . 函数对任意的实数,都有,且当时,.
(1)求的值;
(2)求证:是上的增函数;
(3)若对任意的实数x,不等式都成立,求实数t的取值范围.
(1)求的值;
(2)求证:是上的增函数;
(3)若对任意的实数x,不等式都成立,求实数t的取值范围.
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9 . 在椭圆中,A、B是左右顶点,P是椭圆E上位于x轴上方的一点.直线PA、PB分别交直线于M、N两点,PA、PB的斜率分别记为.
(1)求的值;
(2)若线段PB的中点Q恰好在以MN为直径的圆上,求m的取值范围.
(1)求的值;
(2)若线段PB的中点Q恰好在以MN为直径的圆上,求m的取值范围.
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10 . 已知F是双曲线的右焦点,过F作渐近线的垂线,垂足为.
(1)求双曲线E的标准方程;
(2)过P作直线l与双曲线E交于两点A、B,记FA、FB的斜率(斜率均有在)分别为,证明:是定值,并求出这个值.
(1)求双曲线E的标准方程;
(2)过P作直线l与双曲线E交于两点A、B,记FA、FB的斜率(斜率均有在)分别为,证明:是定值,并求出这个值.
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