1 . 定义：若函数在某一区间D上任取两个实数，且，都有，则称函数在区间D上具有性质L．
（1）写出一个在其定义域上具有性质L的对数函数（不要求证明）．
（2）判断函数在区间上是否具有性质L？并用所给定义证明你的结论．
（3）若函数在区间上具有性质L，求实数a的取值范围．

2 . 已知数列中，，其前项的和为，且满足().
（1）求证：数列是等差数列；
（2）证明：当时，.

3 . 已知正方体中，､分别为对角线､上的点，且．

（1）求证：平面；
（2）若是上的点，的值为多少时，能使平面平面？请给出证明．

4 . 在如图所示的几何体中，面CDEF为正方形，面ABCD为等腰梯形，，，，.

（1）求证：平面FBC；
（2）线段ED上是否存在点Q，使平面平面QBC？证明你的结论.

5 . 如图，直三棱柱ABC−A₁B₁C₁中（侧棱与底面垂直的棱柱），AC=BC=1，∠ACB＝90°，AA₁＝，D 是A₁B₁的中点．

（1）求证：C₁D⊥平面AA₁B₁B；
（2）当点F 在BB₁上的什么位置时，AB₁⊥平面C₁DF ？并证明你的结论．

6 . 如图所示,在四棱锥中,四边形是正方形,点分别是线段的中点.

（1）求证：;
（2）线段上是否存在一点,使得面面,若存在，请找出点并证明;若不存在,请说明理由.

7 . 如图1，已知中，，点在斜边上的射影为点.

（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）如图2，已知三棱锥中，侧棱，，两两互相垂直，点在底面内的射影为点.类比（Ⅰ）中的结论，猜想三棱锥中与，，的关系，并证明.

8 . 如图所示，矩形所在的平面，分别是的中点.

(1)求证：平面；
(2)求证：.
(3)当满足什么条件时，能使平面成立？并证明你的结论.

9 . 如图所示，点为斜三棱柱的侧棱上一点，交于点，交于点．

（1）求证：；
（2）在任意中有余弦定理：．拓展到空间，类比三角形的余弦定理，写出斜三棱柱的三个侧面面积与其中两个侧面所成的二面角之间的关系式，并予以证明．

10 . 如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁C₁C是边长为4的正方形.平面ABC⊥平面AA₁C₁C，AB=3，BC=5.

（Ⅰ）求证：AA₁⊥平面ABC；
（Ⅱ）求二面角A₁-BC₁-B₁的余弦值；
（Ⅲ）证明：在线段BC₁存在点D，使得AD⊥A₁B，并求的值.