1 . 由于四边形不具有稳定性，所以求四边形面积公式需要有限制条件.我们将四个点在圆上的四边形称为圆内接四边形，圆内接四边形具有对角互补的性质.印度数学家婆罗摩笈多发现了圆内接四边形的面积公式为，其中、、、分别为圆内接四边形的4条边，，与海伦公式有类似之处.已知在圆内接四边形中，，，，，则四边形的面积为___________.

2 . 如图所示，直角三角形所在平面垂直于平面，一条直角边在平面内，另一条直角边长为且，若平面上存在点，使得的面积为，则线段长度的最小值为______．

   

3 . 已知不是常数函数，且满足：.①请写出函数的一个解析式_________；②将你写出的解析式得到新的函数，若，则实数a的值为_________.

4 . 如图，这是某公园的一条扇形闭合路，其中弧所对的圆心角为2.4，，则这条扇形闭合路的总长度为__________．

5 . ____________．

6 . 科技的发展改变了世界，造福了人类，我们生活中处处享受着科技带来的“红利”．例如主动降噪耳机让我们在嘈杂的环境中享受一丝宁静，它的工作原理是：先通过微型麦克风采集周围的噪声，然后降噪芯片生成与噪声振幅相同的反相位声波来抵消噪声（如图所示）．已知某噪声的声波曲线，且经过点．下述四个结论：
①函数是奇函数；
②函数在区间上单调递减；
③存在正整数，使得；
④对于任意实数，存在常数使得．其中所有正确结论的编号是______．

7 . 杭州第届亚洲运动会，于年月日至月日在中国浙江省杭州市举行，本届亚运会的会徽名为“潮涌”，主体图形由扇面、钱塘江、钱江潮头、赛道、互联网符号及象征亚奥理事会的太阳图形六个元素组成（如图），其中扇面造型突出反映了江南的人文意蕴.已知该扇面呈扇环的形状，内环和外环均为圆周的一部分，若内环弧长是所在圆周长的，内环所在圆的半径为，径长（内环和外环所在圆的半径之差）为，则该扇面的面积为__________.

8 . 神舟十五号返回舱于北京时间2023年6月4日6时在东风着陆场成功着陆，着陆地点在航天搜救队A组北偏东的方向60公里处，航天搜救队B组位于A组东偏南的方向80公里处，则航天搜救队B组距着陆点_________公里．

9 . 如图，是两个齿轮传动的示意图，已知左右两个齿轮的半径分别为和，两齿轮中心在同一水平线上，距离为，标记初始位置点为左齿轮的最右端，点为右齿轮的最上端，试问在履带带动齿轮转动过程中两点之间距离的最小值为____________.
      

10 . 下面两图是正四面体与它的外接球被过球心的平面所被形成的截面图，图①中的三角形为正三角形，其面积为，图②中三角形的面积为，则________.