1 . 已知数列和满足：，其中为实数，为正整数.
（1）对任意实数，求证：不成等比数列；
（2）试判断数列是否为等比数列，并证明你的结论.

2 . 已知是与的等比中项，且、、同号，求证：，，也成等比数列.

3 . 已知数列的前项和为，求证：数列是等差数列．

4 . 已知是等差数列，当时，其中、、、均为正整数，求证：．

5 . 已知是数列的通项公式，其中和均为常数．试判断数列是否是等差数列，并证明你的结论．

6 . 记项数为2022且每一项均为正整数的有穷数列所构成的集合为A．若对于任意的，当时，都有，则称集合A为“子列封闭集合”．
(1)若，判断集合A是否为“子列封闭集合”，说明理由；
(2)若数列的最大项为，且，证明：集合A不是“子列封闭集合”；
(3)若数列为严格递增数列，，且集合A为“子列封闭集合”，求数列的通项公式．

7 . 在无穷数列中，．
(1)求与的值；
(2)证明：数列中有无穷多项不为0；
(3)证明：数列中的所有项都不为0．

8 . 已知数列的递推公式为.
(1)求证：为等比数列；
(2)令，求数列的前项和.

9 . 数列的前项和为，且.
(1)证明：数列为等差数列；
(2)求数列的通项公式.

10 . 设数列的各项均为正整数，且．记．如果对于所有的正整数均有．
(1)求，，，，；
(2)猜想的通项公式，并加以证明．