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1 . 斐波那契数列又称“黄金分割数列”,因数学家莱昂纳多・斐波那契以兔子繁殖为例子而引入,故又称为“兔子数列”.此数列在现代物理、准晶体结构、化学等领域都有着广泛的应用.斐波那契数列可以用如下方法定义:,.若此数列各项除以4的余数依次构成一个新数列,则______ .
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解题方法
2 . 剪纸,又叫刻纸,是一种镂空艺术,是中国古老的民间艺术之一,已知某剪纸的裁剪工艺如下:取一张半径为2的圆形纸片,记为,在内作内接正方形,接着在该正方形内作内切圆,记为,并裁剪去该正方形内多余的部分(如图所示阴影部分),记为一次裁剪操作,……重复上述裁剪操作4次,最终得到该剪纸.则第4次裁剪操作结束后,所有裁剪操作中裁剪去除的面积之和为______ .
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3 . 洛卡斯是十九世纪法国数学家,他以研究斐波那契数列而著名.洛卡斯数列就是以他的名字命名,洛卡斯数列为:,即,且.设数列各项依次除以4所得余数形成的数列为,则______ .
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4 . 我国南宋数学家杨辉年所著的《详解九章算法》给出了著名的杨辉三角,由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的,下图是由 “杨辉三角”拓展而成的三角数阵,记第一条斜线之和为,第二条斜线之和为,第三条斜线之和为,以此类推,组成数列.例如若,则_______ .
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5 . 高斯是德国著名数学家,近代数学的奠基者之一,享有“数学王子”的称号,用他名字定义的函数称为高斯函数,其中表示不超过的最大整数,如,已知数列满足,,若为数列的前项和,则_________ .
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6 . 在数学发展史上,已知各除数及其对应的余数,求适合条件的被除数,这类问题统称为剩余问题.1852年《孙子算经》中“物不知其数”问题的解法传至欧洲,在西方的数学史上将“物不知其数”问题的解法称之为“中国剩余定理”,“物不知其数”问题后经秦九韶推广,得到了一个普遍的解法,提升了“中国剩余定理”的高度.现有一个剩余问题:在的整数中,把被4除余数为,被5除余数也为的数,按照由小到大的顺序排列,得到数列,则数列的项数为_____________
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解题方法
7 . 北京天坛的圜丘坛分上、中、下三层,上层中心有一块圆形石板(称为天心石), 环绕天心石砌块扇面形石板构成第一环,向外每环依次增加块,下一层的第一环比上一层的最后一环多块,向外每环依次也增加块.已知每层环数相同,且三层共有扇面形石板(不含天心石) 块,则上层有扇形石板________ 块.
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8 . 洛卡斯是十九世纪法国数学家,他以研究斐波那契数列而著名.洛卡斯数列就是以他的名字命名,洛卡斯数列为:1,3,4,7,11,18,29,47,76,…,即,,且.设数列各项依次除以4所得余数形成的数列为,则______ .
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9 . 南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中,提出了一些新的垛积公式,所讨论的数列与一般等差数列不同,前后两项之差并不相等,但是逐项差数之差或者高次差相等.对这类高阶等差数列的研究·杨辉之后一般被称为“垛积术”.现有高阶等差数列前几项分别为1,4,8,14,23,36,54,则该数列的第21项为________ .
(注:)
(注:)
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解题方法
10 . 《算学启蒙》作者是元代著名数学家朱世杰,这是一部在中国乃至世界最早的科学普及著作.里面涉及一些“堆垛”问题,主要利用“堆垛”研究数列以及数列的求和问题.某同学模仿“堆垛”问题,将108根相同的铅笔刚好全部堆放成纵断面为等腰梯形的“垛”,要求层数不小于2,且从上往下,每一层比下一层少1根,则该“等腰梯形垛”最多可以堆放__________ 层.
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