1 . 已知函数，.
(1)讨论的单调性；
(2)当时，证明：；
(3)证明：对任意的且，都有：.

2 . 设函数，.
(1)若，当时，单调递增，求a的取值范围；
(2)若是的一个极大值点.
（i）当，求b的取值范围；
（ii）当a是给定的实常数，设，，是的3个极值点，问是否存在实数b，可找到，使得，，，的某种排列，，，（其中{，，，}={1，2，3，4}依次成等差数列？若存在，求所有的b及相应的；若不存在，说明理由.

3 . 已知数列（）满足：
(1)若，且，，时，求的通项公式；
(2)若，，，．设是的前项之和，求的最大值．

4 . 今有一个“数列过滤器”，它会将进入的无穷非减正整数数列删去某些项，并将剩下的项按原来的位置排好形成一个新的无穷非减正整数数列，每次“过滤”会删去数列中除以余数为的项，将这样的操作记为操作.设数列是无穷非减正整数数列.
（1）若，进行操作后得到，设前项和为
①求．
②是否存在，使得成等差？若存在，求出所有的；若不存在，说明理由．
（2）若，对进行与操作得到，再将中下标除以4余数为0，1的项删掉最终得到证明：每个大于1的奇平方数都是中相邻两项的和．

5 . 已知数列的前项和为，且满足:
(1)证明：是等比数列，并求数列的通项公式.
(2)设，若数列是等差数列，求实数的值；
(3)在(2)的条件下，设 记数列的前项和为，若对任意的存在实数,使得,求实数的最大值.

6 . 已知数列的首项，，．
（1）求的通项公式；
（2）证明：对任意的，，；
（3）证明：．