2 . 勒洛四面体是一个非常神奇的“四面体”，它能在两个平行平面间自由转动，并且始终保持与两平面都接触，因此它能像球一样来回滚动（如图甲），利用这一原理，科技人员发明了转子发动机．勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的相交部分围成的几何体如图乙所示，若正四面体的棱长为2，则下列说法正确的是（       ）

A．勒洛四面体被平面截得的截面面积是

B．勒洛四面体内切球的半径是

C．勒洛四面体的截面面积的最大值为

D．勒洛四面体能够容纳的最大球的半径为

3 . 在2021年6月17日，神舟十二号载人飞船顺利升空并于6.5小时后与天和核心舱成功对接．如图，是神舟十二号飞船推进舱及其推进器的简化示意图，半径相等的圆，，，，与圆柱底面相切于A，，，四点，且圆与，与，与，与分别外切，线段为圆柱的母线．点线段中点，点在线段上，且．已知圆柱，底面半径为2，.

(1)求证：平面；
(2)线段上是否存在一点，使得平面?若存在，请求出的长，若不存在，请说明理由；
(3)如图，是飞船推进舱与即将对接的天和核心舱的相对位置的简化示意图．天和核心舱为底面半径为2的圆柱，它与飞船推进舱共轴，即，，，共线．核心舱体两侧伸展出太阳翼，其中三角形为以为斜边的等腰直角三角形，四边形为矩形．已知推进舱与核心舱的距离为4，即，且，．在对接过程中，核心舱相对于推进舱可能会相对作出逆时针旋转的运动，请你求出在舱体相对距持不变的情况下，在舱体相对旋转过程中，直线与平面所成角的正弦值的最大值．

4 . 祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.即：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．有一个球形瓷碗，它可以看成半球的一部分，若瓷碗的直径为8，高为2，利用祖暅原理可求得该球形瓷碗的体积为______．

5 . 勒洛四面体是一个非常神奇的“四面体”，它能在两个平行平面间自由转动，并且始终保持与两平面都接触，因此它能像球一样来回滚动（如图甲），利用这一原理，科技人员发明了转子发动机．勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的相交部分围成的几何体如图乙所示，若正四面体的棱长为2，则下列说法正确的是___________．
①勒洛四面体被平面截得的截面面积是
②勒洛四面体内切球的半径是
③勒洛四面体的截面面积的最大值为
④勒洛四面体能够容纳的最大球的半径为

6 . 祖暅是我国古代的伟大科学家，他在5世纪末提出：“幂势即同，则积不容异”，意思是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意一个平面所截，若截面面积都相等，则这两个几何体的体积相等.这就是著名的祖暅原理，祖暅原理常用来由已知几何体的体积推导未知几何体的体积，例如由圆锥和圆柱的的体积推导半球体的体积，其示意图如图一所示.

利用此方法，可以计算如下抛物体的体积：在平面直角坐标系中，设抛物线C的方程为，将C围绕y轴旋转，得到的旋转体称为抛物体.利用祖暅原理它可用一个直三棱柱求解，如图二，由此可计算得该抛物体的体积为___________.

8 . 祖暅原理也称祖氏原理，是我国数学家祖暅提出的一个求积的著名命题：“幂势既同，则积不容异”，“幂”是截面积，“势”是几何体的高，意思是两个同高的立体，如在等高处截面积相等，则体积相等.由曲线围成的图形绕轴旋转一周所得旋转体的体积为，满足的点组成的图形绕轴旋转一周所得旋转体的体积为，则满足以下哪个关系式（       ）

A．

B．

C．

D．

9 . 如图所示五面体的形状就是《九章算术》中所述“羡除”其中，“羡除”形似“楔体”．“广”是指“羡除”的三条平行侧棱之长a，b，c、“深”是指一条侧棱到另两条侧棱所在平面的距离m、“袤”是指这两条侧棱所在平行直线之间的距离n．已知，则此“羡除”的体积为____________．

10 . 中国古代数学名著《九章算术》中记载：“刍甍（chú méng）者，下有袤有广，而上有袤无广，刍，草也．甍，屋盖也．”其释义为：刍甍，底面有长有宽的矩形，顶部只有长没有宽为一条棱的五面体．刍甍字面意思为茅屋屋顶．如图所示，现有刍甍，所有顶点都在球O的球面上，球心O在矩形所在的平面内，，，该刍甍的体积最大时，________，体积的最大值为_________．