名校
1 . 如图，
是半球
的直径，
，
是底面半圆弧
上的两个三等分点，
是半球面上一点，且
.
的面积；
(2)证明：
平面
；
(3)若点在底面圆内的射影恰在
上，求直线
与平面
所成角的正弦值.
是半球的直径，，是底面半圆弧上的两个三等分点，是半球面上一点，且.
的面积；(2)证明：
平面；(3)若点
在底面圆内的射影恰在上，求直线与平面所成角的正弦值.
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2024-04-07更新
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530次组卷
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2卷引用：湖南省衡阳市衡阳县第一中学2024届高三下学期4月月考数学试题
名校
2 . 如图，四棱锥
中，底面
为矩形，
底面
，点
在侧棱
上，
.
(1)证明：是侧棱的中点；
(2)求二面角
的正弦值.
中，底面为矩形，底面，点在侧棱上，.(1)证明：
是侧棱的中点；(2)求二面角
的正弦值.
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名校
3 . 如图，正方体
的棱长为2，在正方形
的内切圆上任取一点
，在正方形
的内切圆上任取一点
，在正方形
的内切圆上任取一点
．
(1)若
分别是棱
的中点，，求棱
和平面
所成角的余弦值；
(2)求
的最小值与最大值．
的棱长为2，在正方形的内切圆上任取一点，在正方形的内切圆上任取一点，在正方形的内切圆上任取一点．(1)若
分别是棱的中点，，求棱和平面所成角的余弦值；(2)求
的最小值与最大值．
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2024-03-02更新
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1085次组卷
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2卷引用：湖南省湖南省长沙市第一中学2024届高三下学期高考适应性演练(一）数学试题
4 . 如图，在正三棱柱
中，底面
为
的中点，
为
上一个动点.
(1)若为靠近
点线段的三等分点，求证：
平面
；
(2)在线段上是否存在点，使平面
与平面
的夹角等于
？若存在，求出
的长；若不存在，请说明理由.
中，底面为的中点，为上一个动点.(1)若
为靠近点线段的三等分点，求证：平面；(2)在线段
上是否存在点，使平面与平面的夹角等于？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由.
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5 . 如图，四边形为矩形，
≌
，且二面角
为直二面角．
平面
；
(2)设
是
的中点，
，二面角
的平面角的大小为
，当
时，求
的取值范围．
为矩形，≌，且二面角为直二面角．
平面；(2)设
是的中点，，二面角的平面角的大小为，当时，求的取值范围．
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2024-02-01更新
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945次组卷
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3卷引用：湖南省株洲市第二中学2021-2022学年高二上学期第三次月考数学试卷
名校
解题方法
6 . 如图，在棱长为
的正方体
中，点是正方体的中心，将四棱锥
绕直线
逆时针旋转
后，得到四棱锥
.
(1)若
，求证：平面
平面
；
(2)是否存在
，使得直线
平面
，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
的正方体中，点是正方体的中心，将四棱锥绕直线逆时针旋转后，得到四棱锥.(1)若
，求证：平面平面；(2)是否存在
，使得直线平面，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
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2024-01-24更新
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1921次组卷
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4卷引用：湖南省长沙市雅礼中学2024届高三下学期3月综合测试（一）数学试题
湖南省长沙市雅礼中学2024届高三下学期3月综合测试（一）数学试题广东省华附 深中 省实 广雅四校联考2024届高三上学期期末数学试题（已下线）最新模拟重组精华卷2 -模块一 各地期末考试精选汇编（已下线）第七章 应用空间向量解立体几何问题拓展 专题二 平面法向量求法及其应用 微点1 平面法向量求法及其应用（一）【培优版】
名校
7 . 如图所示，四边形为正方形，四边形
，
为两个全等的等腰梯形，，
，
，
．
(1)当点
为线段
的中点时，求证：
；
(2)当点在线段上时（包含端点），求平面
和平面
的夹角的余弦值的取值范围．
为正方形，四边形，为两个全等的等腰梯形，，，，． (1)当点
为线段的中点时，求证：；(2)当点
在线段上时（包含端点），求平面和平面的夹角的余弦值的取值范围．
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2024-01-16更新
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1146次组卷
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4卷引用：湖南省株洲市第二中学2023-2024学年高二下学期入学考试数学试题
名校
解题方法
8 . 如图，在梯形中，
，
，
，
，与
交于点，将
沿翻折至
，使点到达点的位置.
(1)证明：
；
(2)若平面PBC与平面PBD的夹角的余弦值为
，求三棱锥
的体积.
中，，，，，与交于点，将沿翻折至，使点到达点的位置. (1)证明：
；(2)若平面PBC与平面PBD的夹角的余弦值为
，求三棱锥的体积.
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2023-11-06更新
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2132次组卷
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5卷引用：湖南省湘东九校2024届高三上学期11月联考数学试题
湖南省湘东九校2024届高三上学期11月联考数学试题（已下线）考点12 空间角 2024届高考数学考点总动员【练】重庆市九龙坡区育才中学校2024届高三上学期第三次联考复习数学试题（已下线）专题15 立体几何解答题全归类（练习）（已下线）第三章 折叠、旋转与展开 专题一 平面图形的翻折、旋转 微点3 翻折、旋转中的基本问题（三）
名校
解题方法
9 . 如图，在四棱锥
中，
，
，
，
.
(1)求证：平面
平面；
(2)若
，点满足
，且三棱锥
的体积为
，求平面
与平面
的夹角的余弦值.
中，，，，. (1)求证：平面
平面；(2)若
，点满足，且三棱锥的体积为，求平面与平面的夹角的余弦值.
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名校
解题方法
10 . 如图，D为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，AE为底面直径，
，
是底面的内接正三角形，且
，P是线段DO上一点.
(1)若
，求三棱锥P-ABC的体积.
(2)当PO为何值时，直线EP与平面PBC所成的角的正弦值最大.
，是底面的内接正三角形，且，P是线段DO上一点.(1)若
，求三棱锥P-ABC的体积.(2)当PO为何值时，直线EP与平面PBC所成的角的正弦值最大.
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