1 . 如图，四面体
中，
．
(1)求证：平面
平面
；
(2)若
，
①若直线
与平面
所成角为30°，求
的值；
②若
平面
为垂足，直线
与平面的交点为
．当三棱锥
体积最大时，求
的值．
中，． (1)求证：平面
平面；(2)若
，①若直线
与平面所成角为30°，求的值；②若
平面为垂足，直线与平面的交点为．当三棱锥体积最大时，求的值．
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2 . 如图，四棱锥
的底面是平行四边形，平面
与直线
分别交于点
，且
，点
在直线
上运动，在线段
上是否存在一定点
，使得其满足：
；
（ii）对所有满足条件（i）的平面，点都落在某一条长为
的线段上，且
．若存在，求出点的位置；若不存在，说明理由．
的底面是平行四边形，平面与直线分别交于点，且，点在直线上运动，在线段上是否存在一定点，使得其满足：
；（ii）对所有满足条件（i）的平面
，点都落在某一条长为的线段上，且．若存在，求出点的位置；若不存在，说明理由．
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解题方法
3 . 如图，已知三棱柱
的侧棱与底面垂直，
，
，M，N分别是
，
的中点，点
在直线
上，且
.取何值，总有
；
(2)当取何值时，直线
与平面所成角
最大?并求该角取最大值时的正切值；
(3)是否存在点，使得平面
与平面所成的二面角的正弦值为
，若存在，试确定点的位置，若不存在，请说明理由.
的侧棱与底面垂直，，，M，N分别是，的中点，点在直线上，且.
取何值，总有；(2)当
取何值时，直线与平面所成角最大?并求该角取最大值时的正切值；(3)是否存在点
，使得平面与平面所成的二面角的正弦值为，若存在，试确定点的位置，若不存在，请说明理由.
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4 . 若
，则称
为
维空间向量集，
为零向量，对于
，任意
，定义：
①数乘运算：
；
②加法运算：
；
③数量积运算：
；
④向量的模：
，
对于中一组向量
，若存在一组不同时为零的实数
使得
，则称这组向量线性相关，否则称为线性无关，
(1)对于
，判断下列各组向量是否线性相关：
①
；
②
；
(2)已知
线性无关，试判断
是否线性相关，并说明理由；
(3)证明：对于中的任意两个元素
，均有
，
，则称为维空间向量集，为零向量，对于，任意，定义：①数乘运算：
；②加法运算：
；③数量积运算：
；④向量的模：
，对于
中一组向量，若存在一组不同时为零的实数使得，则称这组向量线性相关，否则称为线性无关，(1)对于
，判断下列各组向量是否线性相关：①
；②
；(2)已知
线性无关，试判断是否线性相关，并说明理由；(3)证明：对于
中的任意两个元素，均有，
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5 . 如图，四棱锥
中，二面角
的大小为
，
，
，
是
的中点.
平面
；
(2)若直线
与底面所成的角为
，求二面角
的余弦值.
中，二面角的大小为，，，是的中点.
平面；(2)若直线
与底面所成的角为，求二面角的余弦值.
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6 . 如图，在四棱锥中，底面为正方形，
平面
与底面所成的角为
，为的中点．
平面；
(2)若
为
的内心，求直线
与平面所成角的正弦值．
中，底面为正方形，平面与底面所成的角为，为的中点．
平面；(2)若
为的内心，求直线与平面所成角的正弦值．
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2024-04-22更新
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1164次组卷
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3卷引用：山东省枣庄市2024届高三下学期3月模拟考试数学试题
2024·全国·模拟预测
解题方法
7 . 如图1，已知在正方形中，
，
，，
分别是边
，，的中点，现将矩形
沿
翻折至矩形
的位置，使平面
平面
，如图2所示．
平面
；
(2)设
是线段
上一点，且二面角
的余弦值为
，求
的值．
中，，，，分别是边，，的中点，现将矩形沿翻折至矩形的位置，使平面平面，如图2所示．
平面；(2)设
是线段上一点，且二面角的余弦值为，求的值．
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8 . 如图，已知四棱台
的上、下底面分别是边长为2和4的正方形，平面
⊥平面ABCD，
，点P是棱
的中点，点Q在棱BC上．
，证明：
平面
；
(2)若二面角
的正弦值为
，求BQ的长．
的上、下底面分别是边长为2和4的正方形，平面⊥平面ABCD，，点P是棱的中点，点Q在棱BC上．
，证明：平面；(2)若二面角
的正弦值为，求BQ的长．
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2024-04-19更新
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2672次组卷
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3卷引用：江苏省南京市、盐城市2024届高三第一次模拟考试数学试题
解题方法
9 . 已知椭圆
的左、右焦点分别为
，离心率为
，过点
的动直线
交于A，B两点，点
在
轴上方，且不与轴垂直，
的周长为
，直线
与交于另一点
，直线
与交于另一点
，点为椭圆的下顶点，如图①.为椭圆的上顶点时，将平面xOy沿轴折叠如图②，使平面
平面
，求异面直线
与
所成角的余弦值；
(2)若过
作
，垂足为
.
（i）证明:直线过定点；
（ii）求
的最大值.
的左、右焦点分别为，离心率为，过点的动直线交于A，B两点，点在轴上方，且不与轴垂直，的周长为，直线与交于另一点，直线与交于另一点，点为椭圆的下顶点，如图①.
为椭圆的上顶点时，将平面xOy沿轴折叠如图②，使平面平面，求异面直线与所成角的余弦值；(2)若过
作，垂足为.（i）证明:直线
过定点；（ii）求
的最大值.
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10 . 向量外积（又称叉积）广泛应用于物理与数学领域.定义两个向量
与
的叉积
，规定
的模长为
，与、所在平面垂直，其方向满足如图1所示规则，且须满足如图所示的排列顺序.已知向量外积满足分配律，且
.
;②
;
(2)空间直角坐标系中有向量
，
①若
，用含
的坐标表示；
②
证明：
；
(3)如图2所示，平面直角坐标系
中有三角形OAB，
，试探究
的表达式.
与的叉积，规定的模长为，与、所在平面垂直，其方向满足如图1所示规则，且须满足如图所示的排列顺序.已知向量外积满足分配律，且.
;② ;(2)空间直角坐标系中有向量
，①若
，用含的坐标表示；②
证明：；(3)如图2所示，平面直角坐标系
中有三角形OAB，，试探究的表达式.
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