1 . 已知数列{a_n}满足a₁＝，前n项和S_n＝a_n.
(1)求a₂，a₃，a₄的值；
(2)猜想a_n的表达式，并用数学归纳法证明.

2 . 如图所示，在中，，其中，，分别为角，，的对边，在四面体中，，，，分别表示，，，的面积，，，依次表示面，面，面与底面所成二面角的大小．写出对四面体性质的猜想，并证明你的结论

3 . 证明以下结论：
（1）用分析法证明.
（2）利用导数和三段论证明：函数在上是增函数.

4 . 已知数列满足：，
（1）求，，；
（2）猜想数列的通项公式，并用数学归纳法证明你的结论；

5 . 已知数列，首项，前项和足.
（1）求出，并猜想的表达式；
（2）用数学归纳法证明你的猜想.

6 . 已知数列满足，.
（1）求，，，并由此猜想出的一个通项公式（不需证明）；
（2）用数学归纳法证明：当时，.

7 . 中学阶段，对许多特定集合的学习常常是以定义运算（如四则运算）和研究运算律为主要内容．现设集合由全体二元有序实数组组成，在上定义一个运算，记为，对于中的任意两个元素，，规定：．
（1）计算：；
（2）请用数学符号语言表述运算满足交换律，并给出证明；
（3）若“中的元素”是“对，都有成立”的充要条件，试求出元素．

8 . 已知数列中，，.
（1）写出的值，猜想数列的通项公式；
（2）用数学归纳法证明（1）中你的结论.

9 . 设， ，令．
   （1）求 的值；
   （2）猜想数列的通项公式，并用数学归纳法证明．

10 . 观察下列等式：
；
；
；
；
………
（1）照此规律，归纳猜想出第个等式；
（2）用数学归纳法证明（1）中的猜想.