1 . 设为数列的前项和，满足.
(1)求，，，的值，并由此猜想数列的通项公式；
(2)用数学归纳法证明（1）中的猜想.

2 . 已知数列的前项和为，，满足.
(1)当时，用表示；
(2)计算，，，；
(3)猜想的表达式（不用证明）.

3 . 已知数列满足.
(1)写出，并推测的表达式；
(2)用数学归纳法证明所得的结论．

4 . 已知.
（1）求 ， ， 的值.
（2）用数学归纳法证明 .

5 . 对于无穷数列，若，，则称数列是数列的“收缩数列”，其中分别表示中的最大项和最小项，已知数列的前n项和为，数列是数列的“收缩数列”
（1）若求数列的前n项和；
（2）证明：数列的“收缩数列”仍是；
（3）若，求所有满足该条件的数列．

6 . 设数列{a_n}满足a₁=3，．
（1）计算a₂，a₃，猜想{a_n}的通项公式并加以证明；
（2）求数列{2ⁿa_n}的前n项和S_n．

7 . 已知函数，(其中，).
（1）求函数的最小值.
（2）若，求证：.

8 . 已知数列的前项和为，，.
（1）求，，的值；
（2）猜想的表达式，并用数学归纳法加以证明.

9 . 设函数．
（1）求的单调区间；
（2）设，且有两个极值点其中，求的最小值；
（3）证明：＞（n∈N^*，n≥2）．

10 . 设数列的前n项和为，对一切，点都在函数的图象上.
(1)求，，的值.
(2)猜想的表达式，并用数学归纳法证明.