1 . （1）用分析法证明：若，则；
（2）用反证法证明：若，则函数无零点．

2 . 已知为虚数单位，观察下列各等式：
；
；
；
．
记．
（1）根据以上规律，试猜想成立的等式，并加以证明；
（2）计算．

3 . 观察以下等式：
1³＝1²
1³+2³＝（1+2）²
1³+2³+3³＝（1+2+3）²
1³+2³+3³+4³＝（1+2+3+4）²
（1）请用含n的等式归纳猜想出一般性结论，并用数学归纳法加以证明．
（2）设数列{a_n}的前n项和为S_n，且a_n＝n³+n，求S₁₀．

4 . 观察下列等式:
；
；
；
；
；
(1)猜想第n(n∈N^*)个等式;
(2)用数学归纳法证明你的猜想.

5 . 数列中，，前项的和记为．
（1）求的值，并猜想的表达式；
（2）请用数学归纳法证明你的猜想．

6 . 设实数成等差数列，实数成等比数列，非零实数是与的等差中项.
求证：.

7 . 设S_n为数列{a_n}的前n项和，满足S_n＝2a_n－2   (n∈N^*)
（1）求的值，并由此猜想数列{a_n}的通项公式a_n；
（2）用数学归纳法证明（Ⅰ）中的猜想．

8 . 对于不等式，，，它们都是正确的.
(1)根据上面不等式的规律，猜想与的大小并加以证明；
(2)若不等式成立，请你写出所满足的一个等式和一个不等式，不必证明.

9 . 仔细观察下面的不等式，寻找规律，合理猜想出第n个不等式，并用数学归纳法证明你的猜想．

10 . 已知，我们知道成立.
（1）求证：；
（2）同理我们也可以证明出.由上述几个不等式，请你猜测一个与和有关的不等式，并用数学归纳法证明.