1 . 已知数列,从中选取第项、第项、…、第项构成数列,称为的项子列.记数列的所有项的和为.当时,若满足:对任意,,则称具有性质.规定:的任意一项都是的项子列,且具有性质.
(1)当时,比较的具有性质的子列个数与不具有性质的子列个数的大小,并说明理由;
(2)已知数列.
(ⅰ)给定正整数,对的项子列,求所有的算术平均值;
(ⅱ)若有个不同的具有性质的子列,满足:,与都有公共项,且公共项构成的具有性质的子列,求的最大值.
(1)当时,比较的具有性质的子列个数与不具有性质的子列个数的大小,并说明理由;
(2)已知数列.
(ⅰ)给定正整数,对的项子列,求所有的算术平均值;
(ⅱ)若有个不同的具有性质的子列,满足:,与都有公共项,且公共项构成的具有性质的子列,求的最大值.
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2 . 已知平面内点集,A中任意两个不同点之间的距离都不相等. 设集合,. 给出以下四个结论:
①若,则;
②若为奇数,则;
③若为偶数,则;
④若,则.
其中所有正确结论的序号是________ .
①若,则;
②若为奇数,则;
③若为偶数,则;
④若,则.
其中所有正确结论的序号是
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3 . 已知点集满足,,.对于任意点集,若其非空子集A,B满足,,则称集合对为的一个优划分.对任意点集及其优划分,记A中所有点的横坐标之和为,B中所有点的纵坐标之和为.
(1)写出的一个优划分,使其满足;
(2)对于任意点集,求证:存在的一个优划分,满足;
(3)对于任意点集,求证:存在的一个优划分,满足且.
(1)写出的一个优划分,使其满足;
(2)对于任意点集,求证:存在的一个优划分,满足;
(3)对于任意点集,求证:存在的一个优划分,满足且.
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4 . 设正整数,,,这里. 若,且,则称具有性质.
(1)当时,若具有性质,且,,,令,写出的所有可能值;
(2)若具有性质:
①求证:;
②求的值.
(1)当时,若具有性质,且,,,令,写出的所有可能值;
(2)若具有性质:
①求证:;
②求的值.
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5 . 已知整数,集合,,,满足,对任意的,都有且.记.
(1)若,写出两组满足条件的集合,并写出相应的;
(2)证明:;
(3)求的所有可能取值.
(1)若,写出两组满足条件的集合,并写出相应的;
(2)证明:;
(3)求的所有可能取值.
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名校
6 . 已知集合,其中都是的子集且互不相同,记的元素个数,的元素个数.
(1)若,直接写出所有满足条件的集合;
(2)若,且对任意,都有,求的最大值;
(3)若且对任意,都有,求的最大值.
(1)若,直接写出所有满足条件的集合;
(2)若,且对任意,都有,求的最大值;
(3)若且对任意,都有,求的最大值.
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2024-03-23更新
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779次组卷
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3卷引用:北京市北师大附属实验中学2024届高三下学期3月零模数学试题
名校
7 . 设为正整数,集合. 任取集合A中的个元素(可以重复),,,,其中.
(1)若,,直接写出;
(2)对于,,,证明:;
(3)对于某个正整数,若集合A满足:对于A中任意个元素,都有,则称集合A具有性质. 证明:若,集合A具有性质,则,集合A都具有性质.
(1)若,,直接写出;
(2)对于,,,证明:;
(3)对于某个正整数,若集合A满足:对于A中任意个元素,都有,则称集合A具有性质. 证明:若,集合A具有性质,则,集合A都具有性质.
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名校
8 . 已知有个连续正整数元素的有限集合(,),记有序数对,若对任意,,,且,A同时满足下列条件,则称为元完备数对.
条件①:;
条件②:.
(1)试判断是否存在3元完备数对和4元完备数对,并说明理由;
(2)试证明不存在8元完备数对.
条件①:;
条件②:.
(1)试判断是否存在3元完备数对和4元完备数对,并说明理由;
(2)试证明不存在8元完备数对.
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2024-02-23更新
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247次组卷
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2卷引用:北京市通州区2023-2024学年高一上学期期末质量检测数学试卷
9 . 已知是各项均为正整数的无穷递增数列,对于,定义集合,设为集合中的元素个数,若时,规定.
(1)若,写出及的值;
(2)若数列是等差数列,求数列的通项公式;
(3)设集合,求证:且.
(1)若,写出及的值;
(2)若数列是等差数列,求数列的通项公式;
(3)设集合,求证:且.
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名校
10 . 已知集合,其中且,非空集合,记为集合B中所有元素之和,并规定当中只有一个元素时,.
(1)若,写出所有可能的集合B;
(2)若,且是12的倍数,求集合B的个数;
(3)若,证明:存在非空集合,使得是的倍数.
(1)若,写出所有可能的集合B;
(2)若,且是12的倍数,求集合B的个数;
(3)若,证明:存在非空集合,使得是的倍数.
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2024-01-20更新
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282次组卷
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2卷引用:北京市朝阳区2023-2024学年高一上学期期末质量检测数学试题