1 . 对任意正整数n，记集合
，
．
，
，若对任意
都有
，则记
．
(1)写出集合
和
；
(2)证明：对任意
，存在
，使得；
(3)设集合
．求证：
中的元素个数是完全平方数．
，．，，若对任意都有，则记．(1)写出集合
和；(2)证明：对任意
，存在，使得；(3)设集合
．求证：中的元素个数是完全平方数．
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2023-11-15更新
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130次组卷
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4卷引用：北京市朝阳区2022届高三上学期期末统一检测数学试题
2 . 设数集
满足：①任意
，有
；②任意
、
，有
或
，则称数集具有性质
.
（1）判断数集
是否具有性质，并说明理由；
（2）若数集
且
具有性质.
（i）当
时，求证：
、
、
、
是等差数列；
（ii）当、、、不是等差数列时，写出
的最大值.（结论不需要证明）
满足：①任意，有；②任意、，有或，则称数集具有性质.（1）判断数集
是否具有性质，并说明理由；（2）若数集
且具有性质.（i）当
时，求证：、、、是等差数列；（ii）当
、、、不是等差数列时，写出的最大值.（结论不需要证明）
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2021-09-26更新
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574次组卷
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7卷引用：北京市丰台区2021届高三二模数学试题
名校
3 . 定义：有限非空数集
的所有元素的“乘积”称为数集的“积数”，例如：集合
，其“积数”
.
（1）若有限数集
，求证：集合
的所有非空子集的“积数”之和
满足
；
（2）根据（1）的结论，对于有限非空数集
（
），记集合A的所有非空子集的“积数”之和，试写出的表达式，并利用“数学归纳法”给予证明；
（3）若有限集
，
①试求由中所有奇数个元素构成的非空子集的“积数”之和奇数；
②试求由中所有偶数个元素构成的非空子集的“积数”之和偶数.
的所有元素的“乘积”称为数集的“积数”，例如：集合，其“积数”.（1）若有限数集
，求证：集合的所有非空子集的“积数”之和满足；（2）根据（1）的结论，对于有限非空数集
（），记集合A的所有非空子集的“积数”之和，试写出的表达式，并利用“数学归纳法”给予证明；（3）若有限集
，①试求由
中所有奇数个元素构成的非空子集的“积数”之和奇数；②试求由
中所有偶数个元素构成的非空子集的“积数”之和偶数.
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名校
4 . 对于正整数集合
，如果任意去掉其中一个元素
之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合为“可分集合”.
（1）判断集合
和
是否是“可分集合”（不必写过程）；
（2）求证：五个元素的集合
一定不是“可分集合”；
（3）若集合是“可分集合”.
①证明：为奇数；
②求集合中元素个数的最小值.
，如果任意去掉其中一个元素之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合为“可分集合”.（1）判断集合
和是否是“可分集合”（不必写过程）；（2）求证：五个元素的集合
一定不是“可分集合”；（3）若集合
是“可分集合”.①证明：
为奇数；②求集合
中元素个数的最小值.
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2019-12-27更新
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568次组卷
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4卷引用：北京市顺义区牛栏山第一中学2019-2020学年高三上学期期中数学试题
北京市顺义区牛栏山第一中学2019-2020学年高三上学期期中数学试题北京市密云区2019-2020学年高一上学期期末数学试题（已下线）第1章《集合》 培优测试卷（二）-2021-2022学年高一数学上册同步培优训练系列（苏教版2019）（已下线）专题05 集合与常用逻辑用语压轴题型汇总-2021-2022学年高一《新题速递·数学》（人教A版2019）
5 . 已知集合
，其中
且
，
，若对任意的
，都有
，则称集合A具有性质
．
(1)集合
具有性质
，求m的最小值；
(2)已知A具有性质
，求证：
；
(3)已知A具有性质，求集合中元素个数的最大值，并说明理由．
，其中且，，若对任意的，都有，则称集合A具有性质．(1)集合
具有性质，求m的最小值；(2)已知A具有性质
，求证：；(3)已知A具有性质
，求集合中元素个数的最大值，并说明理由．
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6 . 已知集合
，对于
，
，定义与
之间的距离为
．
(1)已知
，写出所有的
，使得
；
(2)已知
，若
，并且
，求
的最大值；
(3)设集合
，中有
个元素，若中任意两个元素间的距离的最小值为
，求证：
．
，对于，，定义与之间的距离为．(1)已知
，写出所有的，使得；(2)已知
，若，并且，求的最大值；(3)设集合
，中有个元素，若中任意两个元素间的距离的最小值为，求证：．
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7 . 设集合、
为正整数集
的两个子集，、至少各有两个元素.对于给定的集合，若存在满足如下条件的集合：
①对于任意
，若
，都有
；②对于任意
，若
，则
.则称集合为集合的“
集”.
(1)若集合
，求
的“集”
；(2)若三元集
存在“集”
，且中恰含有4个元素，求证：
；(3)若
存在“集”，且
，求的最大值.
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名校
解题方法
8 . 设k是正整数，A是
的非空子集（至少有两个元素），如果对于A中的任意两个元素x，y，都有
，则称A具有性质
．
(1)试判断集合
和
是否具有性质
？并说明理由．
(2)若
．证明：A不可能具有性质
．
(3)若
且A具有性质
和
．求A中元素个数的最大值．
的非空子集（至少有两个元素），如果对于A中的任意两个元素x，y，都有，则称A具有性质．(1)试判断集合
和是否具有性质？并说明理由．(2)若
．证明：A不可能具有性质．(3)若
且A具有性质和．求A中元素个数的最大值．
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9 . 拓扑学是一个研究图形（或集合）整体结构和性质的一门几何学，以抽象而严谨的语言将几何与集合联系起来，富有直观和逻辑．已知平面
，定义对
，
，其度量（距离）
并称
为一度量平面．设
，
，称平面区域
为以
为心，
为半径的球形邻域．
(1)试用集合语言描述两个球形邻域的交集；
(2)证明：
中的任意两个球形邻域的交集是若干个球形邻域的并集；
(3)一个集合称作“开集”当且仅当其是一个无边界的点集．证明：的一个子集是开集当且仅当其可被表示为若干个球形邻域的并集．
，定义对，，其度量（距离）并称为一度量平面．设，，称平面区域为以为心，为半径的球形邻域．(1)试用集合语言描述两个球形邻域的交集；
(2)证明：
中的任意两个球形邻域的交集是若干个球形邻域的并集；(3)一个集合称作“开集”当且仅当其是一个无边界的点集．证明：
的一个子集是开集当且仅当其可被表示为若干个球形邻域的并集．
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解题方法
10 . 我们知道，二维空间（平面）向量可用二元有序数组
表示；三维空间向盘可用三元有序数组
表示．一般地，维空间向量用元有序数组
表示，其中
称为空间向量的第
个分量，为这个分量的下标．对于
维空间向量，定义集合
．记
的元素的个数为
（约定空集的元素个数为0）．
(1)若空间向量
，求
及
；
(2)对于空间向量．若
，求证：
，若
，则
；
(3)若空间向量
的坐标满足
，当时，求证：
．
表示；三维空间向盘可用三元有序数组表示．一般地，维空间向量用元有序数组表示，其中称为空间向量的第个分量，为这个分量的下标．对于维空间向量，定义集合．记的元素的个数为（约定空集的元素个数为0）．(1)若空间向量
，求及；(2)对于空间向量
．若，求证：，若，则；(3)若空间向量
的坐标满足，当时，求证：．
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