1 . 设首项为1的正项数列的前n项和为数列的前n项和为且其中p为常数.
（1）求p的值；
（2）求证：数列为等比数列；
（3）证明：“数列成等差数列，其中x､y均为整数”的充要条件是“x=1，且y=2”.

2 . 已知数列的前项和（，是不等于0和1的常数），求证：数列为等比数列的充要条件是.

3 . 已知，函数．
(1)当时，若对任意都有，证明：；
(2)当时，证明：对任意的充要条件是；
(3)当时，讨论：对任意的充要条件．

4 . 求证：若复数，则z为纯虚数的充要条件是.

5 . 设为的三边，求证：方程与有公共根的充要条件是

6 . 已知函数.
(1)若对任意的实数，当都有成立，求的取值范围；
(2)当时，的最大值为M，求证：；
(3)若，求证：对于任意的，的充要条件是.

7 . 集合是由适合以下性质的函数构成的，对于定义域内任意两个不相等的实数，，都有.
(1)试判断，是否在集合中，并说明理由；
(2)设（），求证：的充要条件是；
(3)设且定义域为，值域为，，试写出一个满足以上条件的函数的解析式（只要求写出结果）.

8 . 已知ab≠0，求证：a³+b³+ab-a²-b²=0是a+b=1的充要条件.
(提示：a³+b³=(a+b)(a²-ab+b²))

9 . 设是公比为的等比数列，若中任意两项之积仍是该数列中的项，那么称是封闭数列.
（1）若，，判断是否为封闭数列，并说明理由；
（2）证明为封闭数列的充要条件是：存在整数，使；
（3）记是数列的前项之积，，若首项为正整数，公比为，试问：是否存在这样的封闭数列，使，若存在，求的通项公式；若不存在，说明理由.

10 . 若对一切满足定义的x成立，则函数关于点中心对称.对于函数，试回答下面几个问题：
（1）求函数的对称中心：
（2）当时，求方程：的所有解；
（3）对于等差数列，记前n项和，的前n项和，试判断：“”是“”成立的什么条件，并证明.