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1 . 对于函数的导函数,若在其定义域内存在实数,,使得成立,则称是“跃点”函数,并称是函数的“跃点”.
(1)若,,求证:是“3跃点”函数;
(2)若是定义在是的“1跃点”函数,且在其定义域上有两个不同的“1跃点”,求实数的范围;
(3)若,是“1跃点”函数,且在其定义域内恰存在一个“1跃点”,求实数的范围.
(1)若,,求证:是“3跃点”函数;
(2)若是定义在是的“1跃点”函数,且在其定义域上有两个不同的“1跃点”,求实数的范围;
(3)若,是“1跃点”函数,且在其定义域内恰存在一个“1跃点”,求实数的范围.
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2 . 对于定义域为R的函数,若存在常数,使得是以为周期的周期函数,则称为“正弦周期函数”,且称为其“正弦周期”.
(1)判断函数是否为“正弦周期函数”,并说明理由;
(2)已知是定义在R上的严格增函数,值域为R,且是以为“正弦周期”的“正弦周期函数”,若,且存在,使得,求的值;
(3)已知是以为一个“正弦周期”的“正弦周期函数”,且存在和,使得对任意,都有,证明:是周期函数.
(1)判断函数是否为“正弦周期函数”,并说明理由;
(2)已知是定义在R上的严格增函数,值域为R,且是以为“正弦周期”的“正弦周期函数”,若,且存在,使得,求的值;
(3)已知是以为一个“正弦周期”的“正弦周期函数”,且存在和,使得对任意,都有,证明:是周期函数.
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解题方法
3 . 已知O为坐标原点,对于函数,称向量为函数的相伴特征向量,同时称函数为向量的相伴函数.
(1)求的“相伴特征向量”;
(2)已知,,为的相伴特征向量,,请问在的图象上是否存在一点P,使得,若存在,求出P点坐标;若不存在,说明理由;
(3)记向量的相伴函数为,若当时不等式恒成立,求实数k的取值范围.
(1)求的“相伴特征向量”;
(2)已知,,为的相伴特征向量,,请问在的图象上是否存在一点P,使得,若存在,求出P点坐标;若不存在,说明理由;
(3)记向量的相伴函数为,若当时不等式恒成立,求实数k的取值范围.
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4 . 若函数在上有定义,且对于任意不同的,都有,则称为上的“k类函数”.已知函数.
(1)求曲线在点处的切线方程;
(2)求的单调区间;
(3)若为上的“3类函数”,求实数a的取值范围.
(1)求曲线在点处的切线方程;
(2)求的单调区间;
(3)若为上的“3类函数”,求实数a的取值范围.
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5 . 已知
(1)当时,解关于的不等式;
(2)若有两个零点,求的值;
(3)当时,的最大值,最小值为,若,求的取值范围.
(1)当时,解关于的不等式;
(2)若有两个零点,求的值;
(3)当时,的最大值,最小值为,若,求的取值范围.
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解题方法
6 . 已知为实数,用表示不超过的最大整数,例如,对于函数,若存在,使得,则称函数是“函数”.
(1)判断函数是否是“函数”;
(2)设函数是定义在上的周期函数,其最小正周期是,若不是“函数”,求的最小值;
(3)若函数是“函数”,求的取值范围.
(1)判断函数是否是“函数”;
(2)设函数是定义在上的周期函数,其最小正周期是,若不是“函数”,求的最小值;
(3)若函数是“函数”,求的取值范围.
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7 . 定义:如果函数和的图象上分别存在点M和N关于x轴对称,则称函数和具有关系.
(1)判断函数和是否具有C关系;
(2)若函数和不具有C关系,求a的取值范围;
(3)若函数和在区间上具有C关系,求m的取值范围.
(1)判断函数和是否具有C关系;
(2)若函数和不具有C关系,求a的取值范围;
(3)若函数和在区间上具有C关系,求m的取值范围.
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8 . 若函数满足以下三个条件,则称为函数.①定义域为;②对任意,;③对任意正整数,,当时,有.若给定函数某几个函数值,在满足条件①②③的情况下,可能的如果有种,分别为,,,.那么我们记等于,,,的最大值.这样得到的称为的最大生成函数.
(1)若为函数,且是在给定条件,下的的最大生成函数,求和的值;
(2)若为函数,且满足,求数列的前10项和;
(3)若为函数,且是在给定条件,下的的最大生成函数,求数列的前项和.
(1)若为函数,且是在给定条件,下的的最大生成函数,求和的值;
(2)若为函数,且满足,求数列的前10项和;
(3)若为函数,且是在给定条件,下的的最大生成函数,求数列的前项和.
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9 . 已知函数.
(1)判断并证明的零点个数
(2)记在上的零点为,求证;
(i)是一个递减数列
(ii).
(1)判断并证明的零点个数
(2)记在上的零点为,求证;
(i)是一个递减数列
(ii).
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10 . 高斯二项式定理广泛应用于数学物理交叉领域.设,,记,,并规定.记,并规定.定义
(1)若,求和;
(2)求;
(3)证明:.
(1)若,求和;
(2)求;
(3)证明:.
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