1 . 已知，若函数在区间[1，3]上的最大值为，最小值为，令.
（1）求的函数表达式；
（2）判断并证明函数在区间上单调性，并求出的最小值.

2 . 已知，.
（1）当时，求；
（2）试判断在的单调性，并用定义证明；
（3）求的最小值.

3 . 已知函数．
（1）将函数写成分段函数的形式，并画出函数的大致图像；
（2）求证：函数在上是增函数；
（3）若关于的方程在区间上有两个不相等的实数根，求实数的取值范围．

4 . 已知函数.
（1）用分段函数的形式表示该函数；
（2）在右边所给的坐标系中画出该函数的图象；

（3）写出该函数的定义域、值域、单调区间（不要求证明）.

5 . 函数f（x）的定义域为D，函数g（x）的定义域为E．规定：函数
（Ⅰ）若函数，写出函数h（x）的解析式；
（Ⅱ）判断问题（Ⅰ）中函数h（x）在（1，+∞）上的单调性；
（Ⅲ）若g（x）=f（x+α），其中α是常数，且α∈（0，π），请设计一个定义域为R的函数y=f（x），及一个α的值，使得h（x）=cos4x，并给予证明．

6 . 如图，定义在上的函数的图像为折线段．

（1）求函数的解析式；
（2）请用数形结合的方法求不等式的解集，不需要证明．

7 . ．已知函数对任意实数均有，当时，是正比例函数，当时，是二次函数，且在时取最小值．
（1）证明：；
（2）求出在的表达式；并讨论在的单调性．

8 . 给定正实数，对任意的正整数，，其中表示不超过实数的最大整数．
1．若，求的取值范围；
2．求证：（i）；
（ii）．