1 . 若函数与满足：对任意的，总存在唯一的，使成立，则称是在区间上的“阶伴随函数”；当时，则称为区间上的“m阶自伴函数”.
(1)判断是否为区间上的“2阶自伴函数”？并说明理由；
(2)若函数为区间上的“1阶自伴函数”，求的值；
(3)若是在区间上的“2阶伴随函数”，求实数的取值范围.

3 . 若函数在区间上有最大值4和最小值1，设
(1)求的值；
(2)若不等式在上有解，求实数的取值范围；
(3)关于的方程有且仅有二个不同的实根，求实数的取值范围.

4 . 已知函数，在区间上有最大值4，最小值1，设．
（1）求的值；
（2）不等式在上恒成立，求实数的取值范围；
（3）方程有三个不同的实数解，求实数k的取值范围

5 . 若函数满足：对于任意正数，，都有，，且，则称函数为“函数”．
（1）试判断函数与是否是“函数”；
（2）若函数为“函数”，求实数的取值范围；
（3）若函数为“函数”，且，求证：对任意，都有 ．

6 . 已知，当点在的图象上运动时，点在函数的图象上运动.（其中）.
（1）求的表达式；
（2）设集合，，若（为空集），求实数的取值范围；
（3）设，若函数（）的值域为，求实数、的值.

7 . 已知为定义在实数集上的函数，把方程称为函数的特征方程，特征方程的两个实根、（），称为的特征根.
（1）讨论函数的奇偶性，并说明理由；
（2）已知为给定实数，求的表达式；
（3）把函数，的最大值记作，最小值记作，研究函数，的单调性，令，若恒成立，求的取值范围.

8 . 已知函数，若在定义域内存在，使得成立，则称为函数的局部对称点.
（1）若、且，证明：函数必有局部对称点；
（2）若函数在区间内有局部对称点，求实数的取值范围；
（3）若函数在上有局部对称点，求实数的取值范围.

9 . 已知是定义在上的函数，记，的最大值为.若存在，满足，，，则称一次函数是的“逼近函数”此时的称为在上的“逼近确界”.
（1）验证是，的“逼近函数”；
（2）已知，，.若是的“逼近函数”，求a，b的值；
（3）已知，，求证；对任意常数a，b，.

10 . 已知是定义在上的函数，记，的最大值为.若存在，满足，，，则称一次函数是的“逼近函数”，此时的称为在上的“逼近确界”.
（1）验证是，的“逼近函数”；
（2）已知，，.若是的“逼近函数”，求，的值.