1 . 函数在区间上的最小值记为.
(1)当时，求函数在区间上的值域；
(2)求的最小值.

2 . 如图，有一块矩形空地，要在这块空地上开辟一个内接四边形为绿地，使其四个顶点分别落在矩形的四条边上，已知，且，设，绿地面积为．

(1)写出关于x的函数解析式，并求出的定义域；
(2)当为何值时，绿地面积最大？并求出最大值．

3 . 党的二十大报告强调，要加快建设交通强国、数字中国．专家称数字交通让出行更智能、安全、舒适．研究某市场交通中，道路密度是指该路段上一定时间内通过的车辆数除以时间，车辆密度是该路段一定时间内通过的车辆数除以该路段的长度，现定义交通流量为，x为道路密度，q为车辆密度，已知当道路密度时，交通流量，其中．
(1)求a的值；
(2)若交通流量，求道路密度x的取值范围；
(3)求车辆密度q的最大值．

4 . 为了研究某种药物，用小白鼠进行试验，发现药物在血液内的浓度与时间的关系因使用方式的不同而不同，使用口服方式给药，则药物在白鼠血液内的浓度与时间满足关系式：，其中，为常数.
(1)若，当时，该小白鼠何时血液中药物的浓度最高，并求出最大值？
(2)若，当时，该小白鼠何时血液中药物的浓度最高，并求出最大值？
(3)若使小白鼠在用药后3小时内血液中的药物浓度不低于4，求正数的取值范围.

5 . 第 19 届亚运会 2023 年 9 月在杭州市举办，本届亚运会以 “绿色、智能、节俭、文明” 为办会理念，展示杭州生态之美、文化之韵，充分发挥国际重大赛事对城市发展的牵引作用，从而促进经济快速 发展，筹备期间，某公司带来了一种智能设备供采购商洽谈采购，并决定大量投放当地市场，已知 该种设备年固定研发成本为 50 万元，每生产一万台需另投入 80 万元，设该公司一年内生产该设备 万台且全部售完. 当 时，每万台的年销售收入   （万元） 与年产量 （万台）满足关系式: ; 当 时，每万台的年销售收入   （万元）与年产量 （万台）满足关系式:
(1)写出年利润 （万元）关于年产量 （万台）的函数解析式（利润=销售收入一成本）;
(2)当年产量为多少万台时，该公司获得的年利润最大? 并求最大利润.

6 . 定义：若函数对于其定义域内的某一数，有，则称是的一个不动点.已知函数（）.
(1)当，时，求函数的不动点；
(2)若对任意的实数，函数恒有两个不动点，求的取值范围；
(3)在（2）的条件下，若图象上两个点、的横坐标是函数的不动点，且、的中点在函数的图象上，求的最小值.

7 . 已知函数，．
（1）当时，求的最大值和最小值；
（2）若在区间上的最大值为，求实数的值．

8 . 若函数同时满足：
①函数在整个定义域是严格增函数或严格减函数；
②存在区间，使得函数在区间上的值域为，则称函数是该定义域上的“闭函数”.
（1）判断是不是上的“闭函数”？若是，求出区间；若不是，说明理由；
（2）若是“闭函数”，求实数的取值范围；
（3）若在上的最小值是“闭函数”，求、满足的条件.

9 . 已知函数.
（1）当时，求函数的最大值和最小值；
（2）若函数在区间上是单调函数，求的取值范围.

10 . 对于函数，若存在,使得成立，则称为的不动点，已知函数
（1）当，时，求函数的不动点；
（2）若对任意实数，函数恒有不动点，求的取值范围；
（3）在（2）条件下，若图象上的两点的横坐标是函数的不动点，且的中点在直线上，求的最小值.