解题方法
1 . 如图①,将个完全一样质量均匀长为的长方体条状积木,一个叠一个,从桌子边缘往外延伸,最多能伸出桌缘多远而不掉下桌面呢?这就是著名的“里拉斜塔问题”.
解决方案如下:如图②,若,则当积木与桌缘垂直且积木重心恰与桌缘齐平时,其伸出桌外部分最长为,如图③,若,欲使整体伸出桌缘最远,在保证所有积木最长棱与桌缘垂直的同时,可先将上面积木的重心与最下方的积木伸出桌外的最远端齐平,然后设最下方积木伸出桌外的长度为,将最下方积木看成一个杠杆,将桌缘看成支点,由杠杆平衡原理可知,若积木恰好不掉下桌面,则上面积木的重力乘以力臂,等于最下方积木的重力乘以力臂,得出方程,求出.所以当叠放两个积木时,伸出桌外最远为,此时将两个积木看成整体,其重心恰与桌缘齐平.如图④,使前两块积木的中心与下方的第三块积木伸出桌外的最远端齐平,便可求出时积木伸出桌外的最远距离.依此方法,可求出4个、5个直至个积木堆叠伸出桌外的最远距离.(参考数据:,为自然常数)
(1)分别求出和时,积木伸出桌外的最远距离.(用表示);
(2)证明:当时,积木伸出桌外最远超过;
(3)证明:当时,积木伸出桌外最远不超过.
解决方案如下:如图②,若,则当积木与桌缘垂直且积木重心恰与桌缘齐平时,其伸出桌外部分最长为,如图③,若,欲使整体伸出桌缘最远,在保证所有积木最长棱与桌缘垂直的同时,可先将上面积木的重心与最下方的积木伸出桌外的最远端齐平,然后设最下方积木伸出桌外的长度为,将最下方积木看成一个杠杆,将桌缘看成支点,由杠杆平衡原理可知,若积木恰好不掉下桌面,则上面积木的重力乘以力臂,等于最下方积木的重力乘以力臂,得出方程,求出.所以当叠放两个积木时,伸出桌外最远为,此时将两个积木看成整体,其重心恰与桌缘齐平.如图④,使前两块积木的中心与下方的第三块积木伸出桌外的最远端齐平,便可求出时积木伸出桌外的最远距离.依此方法,可求出4个、5个直至个积木堆叠伸出桌外的最远距离.(参考数据:,为自然常数)
(1)分别求出和时,积木伸出桌外的最远距离.(用表示);
(2)证明:当时,积木伸出桌外最远超过;
(3)证明:当时,积木伸出桌外最远不超过.
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解题方法
2 . 某药品可用于治疗某种疾病,经检测知每注射tml药品,从注射时间起血药浓度y(单位:ug/ml)与药品在体内时间(单位:小时)的关系如下:当血药浓度不低于时才能起到有效治疗的作用,每次注射药品不超过.
(1)若注射药品,求药品的有效治疗时间;
(2)若多次注射,则某一时刻体内血药浓度为每次注射后相应时刻血药浓度之和.已知病人第一次注射1ml药品,12小时之后又注射aml药品,要使随后的6小时内药品能够持续有效消疗,求的最小值.
(1)若注射药品,求药品的有效治疗时间;
(2)若多次注射,则某一时刻体内血药浓度为每次注射后相应时刻血药浓度之和.已知病人第一次注射1ml药品,12小时之后又注射aml药品,要使随后的6小时内药品能够持续有效消疗,求的最小值.
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3 . 我们通常用里氏震级来标定地震规模的大小,里氏震级与震源中心释放的能量有关,二者满足关系式,则里氏6.2级地震释放的能量是里氏4.1级地震释放的能量的( )
A.2.1倍 | B.3.15倍 | C.倍 | D.倍 |
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名校
4 . 已知把物体放在空气中冷却时,若物体原来的温度是,空气的温度是,则后物体的温度满足公式(其中是一个随着物体与空气的接触状况而定的正常数).某天小明同学将温度是的牛奶放在空气中,冷却后牛奶的温度是,则下列说法正确的是( )
A. |
B. |
C.牛奶的温度降至还需 |
D.牛奶的温度降至还需 |
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2024-03-08更新
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231次组卷
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10卷引用:山东省聊城颐中外国语学校2023-2024学年高三上学期第一次月考数学试题
山东省聊城颐中外国语学校2023-2024学年高三上学期第一次月考数学试题湖北省高中名校联盟2024届高三上学期第一次联合测评数学试题福建省厦门第一中学海沧校区2024届高三上学期9月月考数学试题(已下线)阶段性检测2.2(中)(范围:集合至复数)广东省南澳县南澳中学2024届高三上学期校一模数学试题广东省广州市2024届高三上学期8月阶段训练数学试题江苏省盐城市第一中学2023-2024学年高一上学期期中考试数学试卷湖南省长沙市长郡中学2024届高三寒假作业检测(月考六)数学试题湖南省长沙市德成学校2024届高三下学期入学考试数学试题四川省绵阳市东辰学校2024届高三下学期第二学月考试数学(理科)试题
5 . 某地区未成年男性的身高(单位:cm)与体重平均值(单位:kg)的关系如下表1:
表1 未成年男性的身高与体重平均值
直观分析数据的变化规律,可选择指数函数模型、二次函数模型、幂函数模型近似地描述未成年男性的身高与体重平均值之间的关系.为使函数拟合度更好,引入拟合函数和实际数据之间的误差平方和、拟合优度判断系数(如表2).误差平方和越小、拟合优度判断系数越接近1,拟合度越高.
表2 拟合函数对比
(1)问哪种模型是最优模型?并说明理由;
(2)若根据生物学知识,人体细胞是人体结构和生理功能的基本单位,是生长发育的基础.假设身高与骨细胞数量成正比,比例系数为;体重与肌肉细胞数量成正比,比例系数为.记时刻的未成年时期骨细胞数量,其中和分别表示人体出生时骨细胞数量和增长率,记时刻的未成年时期肌肉细胞数量,其中和分别表示人体出生时肌肉细胞数量和增长率.求体重关于身高的函数模型;
(3)在(2)的条件下,若,.当刚出生的婴儿身高为50cm时,与(1)的模型相比较,哪种模型跟实际情况更符合,试说明理由.
注:,;婴儿体重符合实际,婴儿体重较符合实际,婴儿体重不符合实际.
表1 未成年男性的身高与体重平均值
身高/cm | 60 | 70 | 80 | 90 | 100 | 110 | 120 | 130 | 140 | 150 | 160 | 170 |
体重平均值/kg |
表2 拟合函数对比
函数模型 | 函数解析式 | 误差平方和 | |
指数函数 | |||
二次函数 | |||
幂函数 |
(2)若根据生物学知识,人体细胞是人体结构和生理功能的基本单位,是生长发育的基础.假设身高与骨细胞数量成正比,比例系数为;体重与肌肉细胞数量成正比,比例系数为.记时刻的未成年时期骨细胞数量,其中和分别表示人体出生时骨细胞数量和增长率,记时刻的未成年时期肌肉细胞数量,其中和分别表示人体出生时肌肉细胞数量和增长率.求体重关于身高的函数模型;
(3)在(2)的条件下,若,.当刚出生的婴儿身高为50cm时,与(1)的模型相比较,哪种模型跟实际情况更符合,试说明理由.
注:,;婴儿体重符合实际,婴儿体重较符合实际,婴儿体重不符合实际.
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2023-12-20更新
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813次组卷
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4卷引用:山东省潍坊市2024届高三上学期普通高中学科素养能力测评数学试题
山东省潍坊市2024届高三上学期普通高中学科素养能力测评数学试题江苏省苏州市南京师大苏州实验学校2024届高三上学期阶段测试(五)数学试题辽宁省“创新发展教研联盟”2024届高三第一次联考数学试题(已下线)第八章 成对数据的统计分析总结 第三练 方法提升应用
名校
6 . 研究表明,过量的碳排放会导致全球气候变暖等问题,因而减少碳排放具有深远的意义.为了响应国家节能减排的号召,2023年某企业计划引进新能源汽车生产设备.通过市场分析,全年投入固定成本2500万元,每生产(单位:百辆)新能源汽车需另投入成本(单位:万元),且如果每辆车的售价为5万元,且假设全年内生产的车辆当年能全部销售完.(注:利润=销售额-成本)
(1)求2023年的利润(万元)关于年产量x(百辆)的函数关系式;
(2)当2023年的年产量为多少百辆时,企业所获利润最大?并求出最大利润.
(1)求2023年的利润(万元)关于年产量x(百辆)的函数关系式;
(2)当2023年的年产量为多少百辆时,企业所获利润最大?并求出最大利润.
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2023-11-14更新
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462次组卷
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8卷引用:山东省泰安市肥城市第一高级中学2023-2024学年高一上学期12月月考数学试题
名校
解题方法
7 . 根据市场调查知,某数码产品公司生产某款运动手环的年固定成本为50万元,每生产1万只还需另投入20万元.若该公司一年内共生产该款运动手环x万只并能全部销售完,平均每万只的销售收入为万元,且当该公司一年内共生产该款运动手环5万只并全部销售完时,年利润为300万元.
(1)求出k的值,并写出年利润(万元)关于年产量x(万部)的函数解析式;
(2)当年产量为多少万只时,公司在该款运动手环的生产中所获得的利润最大?并求出最大利润.
(1)求出k的值,并写出年利润(万元)关于年产量x(万部)的函数解析式;
(2)当年产量为多少万只时,公司在该款运动手环的生产中所获得的利润最大?并求出最大利润.
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2023-10-17更新
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515次组卷
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5卷引用:山东省菏泽市鄄城县鄄城县第一中学2023-2024学年高一上学期10月月考数学试题
解题方法
8 . 2020年11月,国务院办公厅印发《新能源汽车产业发展规划(2021-2035年)》,要求深入实施发展新能源汽车国家战略,推动中国新能源汽车产业高质量可持续发展,加快建设汽车强国.同时为了推广新能源替代传统非绿色能源,除了财政补贴、税收优惠等激励性政策外,可间接通过前期技术研发支持等政策引导能源发展方向.某企业多年前就开始进行新能源汽车方面的研发,现对近10年的年技术创新投入和每件产品成本(,2,3,…,10)的数据进行分析,得到如下散点图,
并计算得:,,,,.
(1)根据散点图可知,可用函数模型拟合y与x的关系,试建立y关于x的回归方程;
(2)已知该产品的年销售额m(单位:千万元)与每件产品成本y的关系为.该企业的年投入成本除了年技术创新投入,还要投入其他成本10千万元,根据(1)的结果回答:当年技术创新投入x为何值时,年利润的预报值最大?(注:年利润年销售额年投入成本)
参考公式:对于一组数据,,…,,其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为:,.
并计算得:,,,,.
(1)根据散点图可知,可用函数模型拟合y与x的关系,试建立y关于x的回归方程;
(2)已知该产品的年销售额m(单位:千万元)与每件产品成本y的关系为.该企业的年投入成本除了年技术创新投入,还要投入其他成本10千万元,根据(1)的结果回答:当年技术创新投入x为何值时,年利润的预报值最大?(注:年利润年销售额年投入成本)
参考公式:对于一组数据,,…,,其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为:,.
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解题方法
9 . 某物流公司计划扩大公司业务,但总投资不超过100万元,市场调查发现,投入资金x(万元)和年增加利润y(万元)近似满足如下关系.
(1)若该公司投入资金不超过40万元,能否实现年增加利润30万元?
(2)如果你是该公司经营者,你会投入多少资金?请说明理由.
(1)若该公司投入资金不超过40万元,能否实现年增加利润30万元?
(2)如果你是该公司经营者,你会投入多少资金?请说明理由.
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10 . 某银行拟面向部分科创小微企业开展贷款业务.调查数据表明,科创小微企业的贷款实际还款比例关于其年收入x(单位:万元)的函数模型为.已知当贷款小微企业的年收入为10万元时,其实际还款比例为50%,若银行期待实际还款比例为60%,则贷款小微企业的年收入约为( )(参考数据:,)
A.14万元 | B.16万元 | C.18万元 | D.20万元 |
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