1 . 设函数，其中和是实数，曲线恒与轴相切于坐标原点．
(1)求常数的值；
(2)当时，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围；
(3)求证：对于任意的正整数，不等式恒成立.

2 . 已知函数 ， ，且在点处的切线方程为.
(1)求，的值；
(2)若函数在区间内有且仅有一个极值点，求的取值范围；
(3)设 为两曲线 ，的交点，且两曲线在交点处的切线分别为，. 若取，试判断当直线，与轴围成等腰三角形时值的个数并说明理由.

3 . 已知函数，在和处取得极值，且，曲线在处的切线与直线垂直．
(1)求的解析式；
(2)证明关于的方程至多只有两个实数根（其中是的导函数，是自然对数的底数）．