1 . 已知数列为数列的前n项和，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)求证：；
(3)证明：．

2 . 已知函数，．
（Ⅰ）设（其中是的导函数），求的最大值；
（Ⅱ）证明: 当时，求证：；
（Ⅲ）设,当时,不等式恒成立,求的最大值．

3 . 设是由满足下列条件的函数构成的集合：①方程有实根；②在定义域区间上可导，且满足.
(1)判断，是否是集合中的元素，并说明理由；
(2)设函数为集合中的任意一个元素，证明：对其定义域区间中的任意、，都有.

4 . 已知函数．
(1)讨论的零点个数；
(2)若存在两个极值点，记为的极大值点，为的零点，证明：．

5 . 已知.
(1)当时，求的单调区间；
(2)若有两个极值点，，证明：.

6 . 已知函数．

(1)求函数的单调区间；
(2)若，求证：．

7 . 已知函数（），为的导数．
(1)讨论函数的单调性；
(2)当时，求证：．

8 . 已知函数（）.
(1)当时，求函数的单调区间；
(2)若函数的图象与x轴相切，求证：.

9 . 已知．
(1)讨论的单调性；
(2)若存在两个零点，证明：存在三个零点，且
(3)在（2）的条件下，证明：．

10 . 已知函数.
(1)讨论函数的单调性；
(2)若存在正数，使成立，求的取值范围；
(3)若，证明：对任意，存在唯一的实数，使得成立.