1 . 已知函数．
(1)求证：函数在定义域上单调递增；
(2)设区间（其中），证明：存在实数，使得函数在区间I上总存在极值点．

2 . 已知函数，其中
(1)若，记，试判断在上的单调性；
(2)求证:当时，；
(3)若对，不等式恒成立，求实数的取值范围.

3 . 对于函数的导函数，若在其定义域内存在实数和，使得成立，则称是“跃然”函数，并称是函数的“跃然值”．
(1)证明：当时，函数是“跃然”函数；
(2)证明：为“跃然”函数，并求出该函数“跃然值”的取值范围．

4 . 已知函数，其中，函数．
(1)当时，求函数在处的切线方程；
(2)当时，
（i）求函数的最大值；
（ii）记函数，证明：函数没有零点．

5 . 已知函数.
(1)求在点处的切线方程；
(2)已知关于x的方程存在两根，且，证明：.

6 . 已知函数（e为自然对数的底数，）.
(1)若，求证：在区间内有唯一零点；
(2)若在其定义域上单调递减，求a的取值范围.

7 . 已知函数，其中，e为自然对数的底数，
(1)若函数在定义域上有两个零点，求实数a的取值范围；
(2)当时，求证：

8 . 已知.
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)若，证明：.

9 . 已知函数.
(1)求函数的最小值；
(2)证明：函数有两个极值点.

10 . 设函数（其中）．
（Ⅰ）当时，求函数的单调区间；
（Ⅱ）试比较与的大小，并证明你的结论．