1 . 如图所示，在中，，，P为AB边上一动点，交AC于点D．现将沿PD翻折至，使平面．
   
(1)当棱锥的体积最大时，求PA的长．
(2)若点P为AB的中点，E为的中点，求证：．

2 . 如图，在三棱锥中，侧面是锐角三角形，，平面平面.
   
(1)求证：；
(2)设，点在棱（异于端点）上，当三棱锥体积最大时，若二面角大于，求线段长的取值范围.

4 . 如图，扇形中，所对的圆心角为，半径为km，直线表示海岸线，且．该市拟修建从通往海岸的观光专线（和线段），其中为上异于，的点，与平行，设．

（1）证明：观光专线的总长度随的增大而减小．
（2）已知修建道路的单位成本是修建道路的单位成本的2倍．当取何值时，修建观光专线的总成本最低？请说明理由．

5 . 如图，在底面为平行四边形的四棱锥中，，，分别为，上的点，且，．

（1）求证：平面；
（2）求四棱锥体积最大时的长．

6 . 如图，点为某沿海城市的高速公路出入口，直线为海岸线，，，是以为圆心，半径为的圆弧型小路.该市拟修建一条从通往海岸的观光专线，其中为上异于的一点，与平行，设.
   
（1）证明：观光专线的总长度随的增大而减小；
（2）已知新建道路的单位成本是翻新道路的单位成本的倍.当取何值时，观光专线的修建总成本最低？请说明理由.

7 . 过函数的图象上一点作倾斜角互补的两条直线，分别与交与异于的，两点.
（1）求证：直线的斜率为定值；
（2）如果，两点的横坐标均不大于0，求面积的最大值.

8 . 如图，一个角形海湾AOB，∠AOB＝2θ（常数θ为锐角）．拟用长度为l（l为常数）的围网围成一个养殖区，有以下两种方案可供选择：
方案一   如图1，围成扇形养殖区OPQ，其中＝l；
方案二   如图2，围成三角形养殖区OCD，其中CD＝l；

（1）求方案一中养殖区的面积S₁ ；
（2）求证：方案二中养殖区的最大面积S₂＝ ；
（3）为使养殖区的面积最大，应选择何种方案？并说明理由．

9 . 已知函数，且函数的图象在点处的切线与直线垂直．
（1）求；
（2）求证：当时，．

10 . 已知函数.
⑴讨论函数的单调性；
⑵若存在两个极值点，且是函数的极小值点，求证：.