1 . 已知函数，且有两个相异零点．
(1)求实数a的取值范围．
(2)证明：．

2 . 已知函数．
(1)若，讨论的单调性．
(2)若，，求证：．

3 . 英国数学家泰勒发现了如下公式：，其中，e为自然对数的底数，．以上公式称为泰勒公式．根据以上信息，并结合高中所学的数学知识，解决如下问题：
(1)证明：当时，；
(2)证明：对任意的正整数；
(3)证明：e是无理数．

4 . 已知函数，．
(1)证明：．
(2)若恒成立，求实数的取值范围．

5 . 已知函数．
(1)求函数的最值．
(2)证明：（其中为自然对数的底数）．

6 . 已知函数．
(1)讨论函数的单调性；
(2)当时，数列满足，
①求证：；
②求证：．

7 . 已知函数，且．
(1)讨论的单调性；
(2)比较与的大小，并说明理由；
(3)当时，证明：．

8 . 已知函数，，
(1)若对定义域内任意非零实数，，均有，求a；
(2)记，证明：．

9 . 已知函数．
(1)求函数的单调区间．
(2)设，若存在两个不相等的实数，，当，时，．求证：．

10 . 已知，求证：．