1 . 英国数学家泰勒发现了如下公式：其中为自然对数的底数，.以上公式称为泰勒公式.设，根据以上信息，并结合高中所学的数学知识，解决如下问题.
(1)证明：；
(2)设，证明：；
(3)设，若是的极小值点，求实数的取值范围.

2 . 若函数在定义域内存在两个不同的数，，同时满足，且在点，处的切线斜率相同，则称为“切合函数”.
(1)证明：为“切合函数”；
(2)若为“切合函数”（其中为自然对数的底数），并设满足条件的两个数为，.
（ⅰ）求证：；
（ⅱ）求证：.

3 . 已知函数，，且.
(1)讨论的单调性；
(2)若，，求的取值范围；
(3)证明：当，且，时，恒成立.

4 . 设，
(1)当时，求证：对于任意；
(2)设，对于定义域内的，有且仅有两个零点求证：对于任意满足题意的，．

5 . 设函数的零点为，的零点为，其中，均大于零.
(1)若，求实数的取值范围；
(2)当时，求证：.
参考数据：，.