1 . 已知函数
．
(1)讨论
的零点个数；
(2)若存在两个极值点，记
为的极大值点，
为的零点，证明：
．
．(1)讨论
的零点个数；(2)若
存在两个极值点，记为的极大值点，为的零点，证明：．
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解题方法
2 . 设
是由满足下列条件的函数构成的集合：①方程
有实根；②在定义域区间
上可导，且
满足
.
(1)判断
，
是否是集合中的元素，并说明理由；
(2)设函数为集合中的任意一个元素，证明：对其定义域区间中的任意
、
，都有
.
是由满足下列条件的函数构成的集合：①方程有实根；②在定义域区间上可导，且满足.(1)判断
，是否是集合中的元素，并说明理由；(2)设函数
为集合中的任意一个元素，证明：对其定义域区间中的任意、，都有.
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3 . 对给定的在定义域内连续且存在导函数的函数
，若对在定义域内的给定常数
，存在数列
满足
在的定义域内且
，且对
在区间
的图象上有且仅有在
一个点处的切线平行于
和
的连线，则称数列为函数的“关联切线伴随数列”.
(1)若函数
，证明：
都存在“关联切线伴随数列”；
(2)若函数
，数列为函数
的“1关联切线伴随数列”，且
，求的通项公式；
(3)若函数
，数列
为函数
的“
关联切线伴随数列”，记数列的前
项和为
，证明：当
时，
.
，若对在定义域内的给定常数，存在数列满足在的定义域内且，且对在区间的图象上有且仅有在一个点处的切线平行于和的连线，则称数列为函数的“关联切线伴随数列”.(1)若函数
，证明：都存在“关联切线伴随数列”；(2)若函数
，数列为函数的“1关联切线伴随数列”，且，求的通项公式；(3)若函数
，数列为函数的“关联切线伴随数列”，记数列的前项和为，证明：当时，.
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解题方法
4 . 已知函数
.
(1)当
时，证明：是增函数.
(2)若
恒成立，求的取值范围.
(3)证明：
（
，
）.
.(1)当
时，证明：是增函数.(2)若
恒成立，求的取值范围.(3)证明：
（，）.
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名校
解题方法
5 . 拉格朗日中值定理是微积分学的基本定理之一，它与导数和函数的零点有关，其表达如下：若函数在区间
连续，在区间
上可导，则存在
，使得
，我们将称为函数在上的“中值点”．已知函数
，
，
．
(1)求
在
上的中值点的个数；
(2)若对于区间内任意两个不相等的实数，
，都有
成立，求实数t的取值范围．
(3)当
且
时，证明：
．
在区间连续，在区间上可导，则存在，使得，我们将称为函数在上的“中值点”．已知函数，，．(1)求
在上的中值点的个数；(2)若对于区间
内任意两个不相等的实数，，都有成立，求实数t的取值范围．(3)当
且时，证明：．
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名校
解题方法
6 . 已知函数
.
(1)当
时，求函数的单调区间；
(2)若
恒成立，求的取值范围；
(3)求证：
.
.(1)当
时，求函数的单调区间；(2)若
恒成立，求的取值范围；(3)求证：
.
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2024-05-08更新
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918次组卷
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3卷引用：广东省东莞市东莞中学2023-2024学年高二下学期第一次段考数学试题
2024·湖南·一模
名校
解题方法
7 . 已知函数
．
(1)当时，求函数在
处的切线方程；
(2)
时；
（ⅰ）若
，求的取值范围；
（ⅱ）证明：
．
．(1)当
时，求函数在处的切线方程；(2)
时；（ⅰ）若
，求的取值范围；（ⅱ）证明：
．
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8 . 已知函数
.
(1)
时，证明：
时，
；
(2)讨论的单调性；
(3)若有两个零点，求a的取值范围.
.(1)
时，证明：时，；(2)讨论
的单调性；(3)若
有两个零点，求a的取值范围.
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9 . 已知
.
(1)当
时，求的单调区间；
(2)若有两个极值点，，证明：
.
.(1)当
时，求的单调区间；(2)若
有两个极值点，，证明：.
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名校
解题方法
10 . 已知函数
．
(1)讨论
的单调性；
(2)若函数
有两个零点
，
（一）求m的取值范围；
（二）求证：
．
．(1)讨论
的单调性；(2)若函数
有两个零点，（一）求m的取值范围；
（二）求证：
．
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2024-05-01更新
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736次组卷
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2卷引用：广东省茂名市高州中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题
