1 . 已知（且，），（），.
(1)当有两个根时，求的取值范围；
(2)当时，求证：（）.

2 . 已知．

(1)若恒成立，求实数的取值范围：
(2)设表示不超过的最大整数，已知的解集为，求．（参考数据：，，）

3 . 已知与都是定义在上的函数，若对任意，，当时，都有，则称是的一个“控制函数”．
(1)判断是否为函数的一个控制函数，并说明理由；
(2)设的导数为，，求证：关于的方程在区间上有实数解；
(3)设，函数是否存在控制函数？若存在，请求出的所有控制函数；若不存在，请说明理由．

4 . 定义：设和均为定义在上的函数，它们的导函数分别为和，若不等式对任意实数恒成立，则称和为“相伴函数”.
(1)给出两组函数，①和②和，分别判断这两组函数是否为“相伴函数”（只需直接给出结论，不需论证）；
(2)若是定义在上的可导函数，是偶函数，是奇函数，，证明：和为“相伴函数”；
(3)，写出“和为相伴函数”的充要条件，证明你的结论.

5 . 九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，斑斓夺目的数学知识中函数尤为耀眼，加上数列知识的加持，犹如锦上添花.下面让我们通过下面这题来体会函数与数列之间的联系.已知，.
(1)求函数的单调区间
(2)若数列（为自然底数），，，，，求使得不等式：成立的正整数的取值范围
(3)数列满足，，.证明：对任意的，.

6 . 已知，曲线：与：没有公共点.
(1)求的取值范围；
(2)设一条直线与，分别相切于点，.证明：
（i）；
（ⅱ）.

7 . “太极生两仪，两仪生四象，四象生八卦……”，“大衍数列”来源于《乾坤谱》，用于解释中国传统文化中的太极衍生原理.“大衍数列”的前几项分别是：0，2，4，8，12，18，24，…，且满足其中.
(1)求（用表示）；
(2)设数列满足：其中，是的前项的积，求证：，.

8 . 已知函数，为参数且．
(1)函数的值域为时，求参数m的取值范围；
(2)当时，若方程有两个不等实数解，，完成以下两个问题：
①求的取值范围；
②证明：．

9 . 已知函数，对于数列，若，则称为函数的“生成数列”，为函数的一个“源数列”.
(1)已知 为函数的“生成数列”，为函数的“源数列”，求；
(2)已知为函数的“源数列”，求证：对任意正整数，均有；
(3)已知为函数的“生成数列”，为函数的“源数列”， 与的公共项按从小到大的顺序构成数列，试问在数列中是否存在连续三项构成等比数列?请说明理由.

10 . 设，为实数，且，函数（），直线．
(1)若直线与函数（）的图像相切，求证：当取不同值时，切点在一条直线上；
(2)当时，直线与函数有两个不同的交点，交点横坐标分别为，，且，求证：．