1 . 已知函数 .
（1）若在 处导数相等，证明： ；
（2）若对于任意 ，直线 与曲线都有唯一公共点，求实数的取值范围.

2 . 已知
（1）对一切恒成立，求实数a的取值范围；
（2）证明：对一切，都有成立．

3 . 已知函数，.
（1）若函数在处的切线与直线平行，求实数的值；
（2）试讨论函数在区间上的最大值；
（3）若时，函数恰有两个零点，求证：.

4 . 已知函数.对任意，且，求证：
（1）；
（2）.

5 . 已知函数在上满足，当时取得极值.
（1）求的单调区间和极大值；
（2）证明：对任意、，不等式恒成立.

6 . 已知函数在点处的切线与直线垂直.
（1）若函数在区间上存在极值，求实数的取值范围；
（2）求证：当时，.

7 . 设M是由满足下列条件的函数构成的集合：①方程有实根；②函数的导数满足．
(1)若函数为集合M中的任意一个元素，证明：方程只有一个实根；
(2)判断函数是否是集合M中的元素，并说明理由；
(3)设函数为集合M中的任意一个元素，对于定义域中任意，，证明：．

8 . 已知函数.
(1)试判断函数的单调性；
(2)设，求在上的最大值；
(3)试证明：对任意的，不等式成立.

9 . 设是正数数列，，且．求证：．

10 . 已知函数，其中为自然对数的底数.
(1)若函数的导函数在上是增函数，求实数的最大值；
(2)求证：，.