名校
1 . 对于函数
的导函数
，若在其定义域内存在实数
，
，使得
成立，则称
是“跃点”函数，并称是函数的“跃点”．
(1)若
，
，求证：是“3跃点”函数；
(2)若
是定义在是
的“1跃点”函数，且在其定义域上有两个不同的“1跃点”，求实数
的范围；
(3)若
，是“1跃点”函数，且在其定义域内恰存在一个“1跃点”，求实数
的范围．
的导函数，若在其定义域内存在实数，，使得成立，则称是“跃点”函数，并称是函数的“跃点”．(1)若
，，求证：是“3跃点”函数；(2)若
是定义在是的“1跃点”函数，且在其定义域上有两个不同的“1跃点”，求实数的范围；(3)若
，是“1跃点”函数，且在其定义域内恰存在一个“1跃点”，求实数的范围．
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2 . 已知定义在
上的函数
的表达式为
，其所有的零点按从小到大的顺序组成数列
（
）.
(1)求函数在区间
上的值域；
(2)求证：函数在区间
（）上有且仅有一个零点；
(3)求证：
.
上的函数的表达式为，其所有的零点按从小到大的顺序组成数列（）.(1)求函数
在区间上的值域；(2)求证：函数
在区间（）上有且仅有一个零点；(3)求证：
.
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3 . 若函数
的图象上的两个不同点处的切线互相重合，则称该切线为函数的图象的“自公切线”，称这两点为函数的图象的一对“同切点”.
(1)分别判断函数
与
的图象是否存在“自公切线”，并说明理由；
(2)若
，求证：函数
有唯一零点且该函数的图象不存在“自公切线”；
(3)设
，
的零点为
，
，求证：“存在
，使得点
与
是函数
的图象的一对‘同切点’”的充要条件是“
是数列
中的项”.
的图象上的两个不同点处的切线互相重合，则称该切线为函数的图象的“自公切线”，称这两点为函数的图象的一对“同切点”.(1)分别判断函数
与的图象是否存在“自公切线”，并说明理由；(2)若
，求证：函数有唯一零点且该函数的图象不存在“自公切线”；(3)设
，的零点为，，求证：“存在，使得点与是函数的图象的一对‘同切点’”的充要条件是“是数列中的项”.
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4 . 已知与
都是定义在上的函数，函数图像上任意两点
，记
表示此两点连线的斜率.当
时，都有
，则称是的一个“T函数”．
(1)判断
是否为函数
的一个
函数，并说明理由；
(2)设
的导数为
，求证：关于
的方程
在区间
上有实数解；
(3)函数
的导函数存在记为
，即
导函数存在记为
，当
都有
，函数是否存在T函数?若存在，请求出的所有函数；若不存在，请说明理由．
与都是定义在上的函数，函数图像上任意两点，记表示此两点连线的斜率.当时，都有，则称是的一个“T函数”．(1)判断
是否为函数的一个函数，并说明理由；(2)设
的导数为，求证：关于的方程在区间上有实数解；(3)函数
的导函数存在记为，即导函数存在记为，当都有，函数是否存在T函数?若存在，请求出的所有函数；若不存在，请说明理由．
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5 . 已知函数
有三个不同的零点
，其中
则
的值为__________ .
有三个不同的零点，其中则的值为
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6 . 已知
，函数的导函数为
．
(1)当
时，求在
处的切线方程；
(2)求函数的极值点；
(3)函数的图象上是否存在一个定点
，使得对于定义域内的任意实数
，都有
成立？证明你的结论．
，函数的导函数为．(1)当
时，求在处的切线方程；(2)求函数
的极值点；(3)函数
的图象上是否存在一个定点，使得对于定义域内的任意实数，都有成立？证明你的结论．
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7 . 已知函数
.（其中为常数）
(1)若
，求曲线在点
处的切线方程；
(2)当
时，判断函数是否存在零点？如果存在，求出零点的个数；
(3)当
且
时，试讨论函数的单调区间和极值.
.（其中为常数）(1)若
，求曲线在点处的切线方程；(2)当
时，判断函数是否存在零点？如果存在，求出零点的个数；(3)当
且时，试讨论函数的单调区间和极值.
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8 . 对三次函数
，如果其存在三个实根，则有
.称为三次方程根与系数关系.
(1)试讨论函数
的单调性.(2)对三次函数
，设
，存在
，满足
.证明：存在
，使得
；(3)称
是
上的广义正弦函数当且仅当存在极值点
，使得
.在平面直角坐标系
中，
是第一象限上一点，设
.已知
在
上有两根
.（i）证明：在上存在两个极值点的充要条件是
；
（ii）求点
组成的点集，满足是
上的广义正弦函数.
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9 . 已知函数
，取点
，过其作曲线切线交
轴于点 
，取点
，过其作曲线作切线交轴于
，若
，则停止操作，以此类推，得到数列
.
(1)若正整数
，证明 
(2)若正整数，试比较
与 
大小；
(3)若正整数
，是否存在k使得
依次成等差数列? 若存在，求出k的所有取值，若不存在，试说明理由.
，取点，过其作曲线切线交轴于点 ，取点，过其作曲线作切线交轴于，若，则停止操作，以此类推，得到数列.(1)若正整数
，证明 (2)若正整数
，试比较与 大小；(3)若正整数
，是否存在k使得依次成等差数列? 若存在，求出k的所有取值，若不存在，试说明理由.
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10 . 对于函数
，若存在
，使得
，则称为函数的一阶不动点； 若存在，使得
，则称为函数的二阶不动点； 依此类推，可以定义函数的
阶不动点. 其中一阶不动点简称不动点，二阶不动点也称为稳定点.
(1)已知
，求的不动点；
(2)已知函数在定义域内单调递增，求证： “为函数的不动点”是“为函数的稳定点”的充分必要条件；
(3)已知
，讨论函数
的稳定点个数.
，若存在，使得，则称为函数的一阶不动点； 若存在，使得，则称为函数的二阶不动点； 依此类推，可以定义函数的 阶不动点. 其中一阶不动点简称不动点，二阶不动点也称为稳定点.(1)已知
，求的不动点；(2)已知函数
在定义域内单调递增，求证： “为函数的不动点”是“为函数的稳定点”的充分必要条件；(3)已知
，讨论函数的稳定点个数.
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2024-02-20更新
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1228次组卷
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4卷引用：上海市松江二中2023-2024学年高三下学期5月月考数学试题
上海市松江二中2023-2024学年高三下学期5月月考数学试题重庆市巴蜀中学校2024届高考适应性月考卷（六）数学试题（已下线）压轴题函数与导数新定义题(九省联考第19题模式）练（已下线）微考点2-5 新高考新试卷结构19题压轴题新定义导数试题分类汇编
