1 . 如图所示，在△ABC中，点D是边BC的中点，点E是线段上靠近A的一个三等分点，过点E的直线与边AB，AC分别交于点P，Q．设，，其中，

(1)求证：为定值，并求此定值；
(2)设△APQ的面积为，△ABC的面积为，求的最小值．

2 . 在斜三棱柱中，底面是边长为4的正三角形，，．

(1)证明：平面；
(2)证明：；
(3)求直线与平面所成角的正弦值．

3 . 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)证明：；
(2)当时，求的面积S．

4 . 如图，是平面四边形的一条对角线，已知，且.

（1）求证：为等腰直角三角形；
（2）若，，求四边形面积的最大值.

5 . 如图，设有双曲线，F₁，F₂是其两个焦点，点M在双曲线上.
(1)若∠F₁MF₂=90°，求△F₁MF₂的面积.
(2)若∠F₁MF₂=60°，△F₁MF₂的面积是多少?若∠F₁MF₂=120°，△F₁MF₂的面积又是多少?
(3)观察以上计算结果，你能看出随∠F₁MF₂的变化，△F₁MF₂的面积将怎样变化吗?试证明你的结论.