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解析
| 共计 12 道试题
1 . 如图,某广场内有一半径为米的圆形区域,圆心为,其内接矩形的内部区域为居民的健身活动场所,已知米,为扩大居民的健身活动场所,打算对该圆形区域内部进行改造,方案如下:过圆心作直径,使得,在劣弧上取一点,过点作圆的内接矩形,使,把这两个矩形所包括的内部区域均作为居民的健身活动场所,其余部分进行绿化,设

(1)记改造后的居民健身活动场所比原来增加的用地面积为(单位:平方米),求的表达式(不需要注明的范围)______
(2)当取最大值时,求的值为______
2024-05-15更新 | 135次组卷 | 2卷引用:广东省佛山市顺德区第一中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题
2 . 某市遇到洪涝灾害.在该市的某湖泊的岸边的O点处(湖岸可视为直线)停放着一艘搜救小船,由于缆绳突然断开,小船被风刮跑(假设小船沿直线匀速漂移).

(1)为了找回小船,需要测量小船的漂移速度(请使用km/h作为单位,精确到0.1km/h).
现有两种方案:
①如图1,在湖岸设置一个观察点AA点距离O点20m.当小船在漂移到B处时,测得;经过15s,小船漂移到C处,测得.又在O点处测量得小船的漂移方向与河岸成30°.请根据以上数据,计算小船的漂移速度.
②如图2,在岸边设置两个观察点AB,且AB之间的直线距离为20m,当小船在C处时,测得;经过20s,小船漂移到D处,测得.请根据以上数据,计算小船的漂移速度.
(2)如图3,若小船从点O开始漂移的同时,在O点处的一名安全员沿河岸以4km/h开始追赶小船,在此过程中获知小船的漂移方向与河岸成30°,漂移的速度为2.2km/h,于是安全员在河岸上选择合适的地点A下水,以2km/h的速度游泳沿直线追赶小船.问安全员是否能追上小船?请说明理由.
参考数据:
2024-05-10更新 | 132次组卷 | 1卷引用:江苏省南京市金陵中学2023-2024学年高二下学期4月期中测试数学试题
3 . “得地率”是指可供人活动的区域的占地面积与总占地面积之比.“得地率”越高,也就意味着人们可活动的区域更大,因此在设计活动场地时,通常会将“得地率”作为一个重要的指标进行考虑.上海某大型购物商场欲将地下一层的一块半圆形空地改建为亲子乐园,建造一个供亲子游玩的海洋球池和两个供人们休息和娱乐,且大小完全相同的休息区.除海洋球池和休息区外的剩余空地全部用气垫筑起“高墙”,以保护亲子乐园中的人们.如图所示,设半圆形空地的圆心为,半径为为直径,矩形海洋球池的顶点上,顶点在半圆的圆周上.矩形休息区的顶点上,顶点在半圆的圆周上,顶点分别在线段上.已知,设,其中.

(1)求当时该亲子乐园可供人活动的区域面积,并求出此时的“得地率”(结果精确到);
(2)求当为多大时,该亲子乐园的“得地率”最大?
2023-05-05更新 | 222次组卷 | 1卷引用:上海市建平中学2022-2023学年高二下学期期中数学试题
4 . 一个玩具盘由一个直径为2米的半圆O和一个矩形ABCD构成,米,如图所示.小球从A点出发以的速度沿半圆O轨道匀速运动到某点E处,经弹射后,以的速度沿EO的方向匀速运动到BC上某点F处.设弧度,小球从AF所需时间为T.

(1)试将T表示为的函数,并写出定义域;
(2)当满足什么条件时,时间T最短.
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5 . 如图,点为某沿海城市的高速公路出入口,直线为海岸线,是以为圆心,半径为的圆弧型小路.该市拟修建一条从通往海岸的观光专线(新建道路,对道路进行翻新),其中上异于的一点,平行,设,新建道路的单位成本是翻新道路的单位成本的倍.要使观光专线的修建总成本最低,则的值为____________

2021-08-31更新 | 376次组卷 | 2卷引用:江苏省宿迁市沭阳县2020-2021学年高二下学期期中数学试题
6 . 某艺术品公司欲生产一款迎新春工艺礼品,该礼品是由玻璃球面和该球的内接圆锥组成,圆锥的侧面用于艺术装饰,如图1.为了便于设计,可将该礼品看成是由圆O及其内接等腰三角形绕底边上的高所在直线旋转而成,如图2.已知圆O的半径为,设,圆锥的侧面积为S圆锥的侧面积R-底面圆半径,I-母线长))

(1)求S关于的函数关系式;
(2)为了达到最佳观赏效果,要求圆锥的侧面积S最大.求S取得最大值时腰的长度
7 . 为解决城市的拥堵问题,某城市准备对现有的一条穿城公路进行分流,已知穿城公路自西向东到达城市中心后转向方向,已知,现准备修建一条城市高架道路上设一出入口,在上设一出口,假设高架道路部分为直线段,且要求市中心的距离为.

(1)若,求两站点之间的距离;
(2)公路段上距离市中心处有一古建筑群,为保护古建筑群,设立一个以为圆心,为半径的圆形保护区.因考虑未来道路的扩建,则如何在古建筑群和市中心之间设计出入口,才能使高架道路及其延伸段不经过保护区?
8 . 如图,某污水处理厂要在一个矩形污水处理池的池底水平铺设污水净化管道(三条边,是直角顶点)来处理污水,管道越长,污水净化效果越好.要求管道的接口的中点,分别落在线段上,已知米,米,记.

(1)试将污水净化管道的总长度(即的周长)表示为的函数,并求出定义域;
(2)问取何值时,污水净化效果最好?并求出此时管道的总长度.
2018-12-10更新 | 2736次组卷 | 19卷引用:【全国百强校】陕西省西安市高新一中2018-2019学年高二(上)期中数学试题(文科)
9 . 为了培养学生的数学建模和应用能力,某校组织了一次实地测量活动,如图,假设待测量的树木 的高度 ,垂直放置的标杆 的高度 ,仰角 三点共线),试根据上述测量方案,回答如下问题:
(1)若测得 ,试求 的值;       
(2)经过分析若干测得的数据后,大家一致认为适当调整标杆到树木的距离 (单位:)使 之差较大时,可以提高测量的精确度,.若树木的实际高为 ,试问 为多少时, 最大?
   
10 . 某地拟规划种植一批芍药,为了美观,将种植区域(区域Ⅰ)设计成半径为的扇形,中心角.为方便观赏,增加收入,在种植区域外围规划观赏区(区域Ⅱ)和休闲区(区域Ⅲ),并将外围区域按如图所示的方案扩建成正方形,其中点分别在边上.已知种植区、观赏区和休闲区每平方千米的年收入分别是10万元、20万元、20万元.

(1)要使观赏区的年收入不低于5万元,求的最大值;
(2)试问:当为多少时,年总收入最大?
共计 平均难度:一般