1 . 椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率为为的左焦点，是的上顶点，是的右顶点，是的下顶点.记直线与直线的交点为，则的余弦值是（       ）

A．

B．

C．

D．

2 . 已知，.
(1)求的值；
(2)求的值；
(3)在平面直角坐标系中，以为始边，已知角的终边与角的终边关于轴对称，求的值.

3 . 在平面直角坐标系中，已知点，点在第二象限，且.
(1)若点的横坐标为，现将向量绕原点沿顺时针方向旋转到的位置，求点的坐标；
(2)已知向量与，的夹角分别为，，且，，若，求的值.

4 . 在二维直角坐标系中，一个位置向量的旋转公式可以由三角函数的几何意义推出．如：将向量绕坐标原点逆时针方向旋转得到向量，由，以为终边的角为，则点，进而求得点．借助复数､三角及向量的知识，可以研究平面上点及图象的旋转问题．请尝试解答下列问题：
(1)在直角坐标系中，已知点的坐标为，将绕坐标原点逆时针方向旋转至．求点的坐标；
(2)设向量，把向量按顺时针方向旋转角得到向量，求向量对应的复数．

5 . 雨天外出虽然有雨伞，时常却总免不了淋湿衣袖、裤脚、背包等，小明想通过数学建模的方法研究如何撑伞可以让淋湿的面积尽量小．为了简化问题小明做出下列假设：
假设1：在网上查阅了人均身高和肩宽的数据后，小明把人假设为身高、肩宽分别为170cm、40cm的矩形“纸片人”：
假设2：受风的影响，雨滴下落轨迹视为与水平地面所成角为的直线；
假设3：伞柄OT长为，可绕矩形“纸片人”上点O旋转；
假设4：伞面为被伞柄OT垂直平分的线段AB，．
以如图1方式撑伞矩形“纸片人”将淋湿“裤脚”；以如图2方式撑被矩形“纸片人”将淋湿“头和肩膀”．

(1)如图3在矩形“纸片人”上身恰好不被淋湿时，求其“裤脚”被淋湿（阴影）部分的面积（结果精确到）；
(2)请根据你的生活经验对小明建立的数学模型提两条改进建议（无需求解改进后的模型，如果建议超过两条仅对前两条评分）

6 . 赵爽是我国汉代数学家，他在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”被选为第24届国际数学家大会的会徽.如图所示，“赵爽弦”图中的大正方形是由4个全等的直角三角形和小正方形拼成，现连接，当正方形的边长为1且其面积与正方形的面积之比为1∶5时，___________.

7 . 如图是构造无理数的一种方法： 线段； 第一步，以线段为直角边作直角三角形，其中； 第二步，以为直角边作直角三角形，其中； 第三步，以为直角边作直角三角形， 其中； ．．．，如此延续下去，可以得到长度为无理数的一系列线段， 如， ， ．．． ，则____________．

8 . 八角星纹是大汶口文化中期彩陶纹样中具有鲜明特色的花纹．八角星纹常绘于彩陶盆和豆的上腹，先于器外的上腹施一圈红色底衬，然后在上面绘并列的八角星形的单独纹样．八角星纹以白彩绘成，黑线勾边，中为方形或圆形，具有向四面八方扩张的感觉．八角星纹延续的时间较长，传播范围亦广，在长江以南的时间稍晚的崧泽文化的陶豆座上也屡见刻有八角大汶口文化八角星纹星纹．图2是图1抽象出来的图形，在图2中，圆中各个三角形为等腰直角三角形，中间阴影部分是正方形且边长为2，其中动点P在圆上，定点A、B所在位置如图所示，则最大值为（       ）

A．9

B．10

C．

D．