名校
解题方法
1 . 在中,角A,,对应的边分别为,,,.
(1)求角A;
(2)法国著名数学家奥古斯丁路易斯柯西(AugustinLouisCauchy,1789年-1857年)在数学领域有非常高的造诣.很多数学的定理和公式都以他的名字来命名,如柯西不等式、柯西积分公式.其中柯西不等式在解决不等式证明的有关问题中有着广泛的应用.
①柯西不等式的二维形式是对于任意的,,,,有.请证明上述不等式,并写出等号取到的条件;
②请用柯西不等式的二维形式求的最大值,并写出等号取到的条件;
③在(1)的条件下,若,是内一点,过作,,垂线,垂足分别为,,,借助于三维分式型柯西不等式:,,,当且仅当时等号成立.求的最小值.
(1)求角A;
(2)法国著名数学家奥古斯丁路易斯柯西(AugustinLouisCauchy,1789年-1857年)在数学领域有非常高的造诣.很多数学的定理和公式都以他的名字来命名,如柯西不等式、柯西积分公式.其中柯西不等式在解决不等式证明的有关问题中有着广泛的应用.
①柯西不等式的二维形式是对于任意的,,,,有.请证明上述不等式,并写出等号取到的条件;
②请用柯西不等式的二维形式求的最大值,并写出等号取到的条件;
③在(1)的条件下,若,是内一点,过作,,垂线,垂足分别为,,,借助于三维分式型柯西不等式:,,,当且仅当时等号成立.求的最小值.
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名校
解题方法
2 . 若内一点满足,则称点为的布洛卡点,为的布洛卡角.如图,已知中,,,,点为的布洛卡点,为的布洛卡角.(1)若,且满足,求的大小.
(2)若为锐角三角形.
(ⅰ)证明:.
(ⅱ)若平分,证明:.
(2)若为锐角三角形.
(ⅰ)证明:.
(ⅱ)若平分,证明:.
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名校
解题方法
3 . 十字测天仪广泛应用于欧洲中世纪晚期的航海领域,主要用于测量太阳等星体的方位,便于船员确定位置.如图1所示,十字测天仪由杆AB和横档CD构成,并且E是CD的中点,横档与杆垂直并且可在杆上滑动.十字测天仪的使用方法如下:如图2,手持十字测天仪,使得眼睛可以从A点观察.滑动横档CD使得A,C在同一水平面上,并且眼睛恰好能观察到太阳,此时视线恰好经过点D,DE的影子恰好是AE.然后,通过测量AE的长度,可计算出视线和水平面的夹角(称为太阳高度角),最后通过查阅地图来确定船员所在的位置.
(1)若在某次测量中,横档的长度为20,测得太阳高度角,求影子AE的长;
(2)若在另一次测量中,,横档的长度为20,求太阳高度角的正弦值;
(3)在杆AB上有两点,满足.当横档CD的中点E位于时,记太阳高度角为,其中,都是锐角.证明:.
(1)若在某次测量中,横档的长度为20,测得太阳高度角,求影子AE的长;
(2)若在另一次测量中,,横档的长度为20,求太阳高度角的正弦值;
(3)在杆AB上有两点,满足.当横档CD的中点E位于时,记太阳高度角为,其中,都是锐角.证明:.
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2023-04-26更新
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1410次组卷
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6卷引用:四川省成都市第七中学2022-2023学年高一下学期期中考试数学试题
4 . 在圆上任取一点,过点作轴的垂线段,垂足为.当点在圆上运动时,线段的中点的轨迹是椭圆.
(1)求该椭圆的方程.
(2)法国数学家加斯帕尔·蒙日(1746—1818)发现:椭圆上任意两条互相垂直的切线的交点,必在一个与椭圆同心的圆上,称此圆为该椭圆的“蒙日圆”.若椭圆的左、右焦点分别为为椭圆上一动点,直线与椭圆的蒙日圆相交于点,求证:为定值.
(1)求该椭圆的方程.
(2)法国数学家加斯帕尔·蒙日(1746—1818)发现:椭圆上任意两条互相垂直的切线的交点,必在一个与椭圆同心的圆上,称此圆为该椭圆的“蒙日圆”.若椭圆的左、右焦点分别为为椭圆上一动点,直线与椭圆的蒙日圆相交于点,求证:为定值.
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5 . 我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理,创造了一幅“勾股圆方图”,后人称其为“赵爽弦图”,类比赵爽弦图,用3个全等的小三角形拼成了如图所示的等边,若,则AC=( )
A.8 | B.7 | C.6 | D.5 |
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2023-04-15更新
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912次组卷
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6卷引用:湖北省武汉市5G联合体2022-2023学年高一下学期期中联考数学试题
名校
6 . 如图,已知四面体中,平面,.
(1)求证:;
(2)《九章算术》中将四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”,若此“鳖臑”中,,有一根彩带经过面与面,且彩带的两个端点分别固定在点和点处,求彩带的最小长度;
(3)若在此四面体中任取两条棱,记它们互相垂直的概率为;任取两个面,记它们互相垂直的概率为;任取一个面和不在此面上的一条棱,记它们互相垂直的概率为. 试比较概率、、的大小.
(1)求证:;
(2)《九章算术》中将四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”,若此“鳖臑”中,,有一根彩带经过面与面,且彩带的两个端点分别固定在点和点处,求彩带的最小长度;
(3)若在此四面体中任取两条棱,记它们互相垂直的概率为;任取两个面,记它们互相垂直的概率为;任取一个面和不在此面上的一条棱,记它们互相垂直的概率为. 试比较概率、、的大小.
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2023-01-11更新
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369次组卷
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3卷引用:上海市浦东新区2022-2023学年高二上学期期末数学试题
名校
解题方法
7 . 《几何原本》是古希腊数学家欧几里得创作的一部传世巨著,该书以基本定义、公设和公理作为推理的出发点,第一次实现了几何学的系绕化、条理化,成为用公理化方法建立数学演绎体系的最早典范.书中第Ⅰ卷第47号命题是著名的毕达哥拉斯(勾股定理),证明过程中以直角三角形中的各边为边分别向外作了正方形(如图1).某校数学兴趣小组对上述图形结构作拓广探究,提出了如下问题,请帮忙解答.
问题:如图2,已知满足,,设(),四边形、四边形、四边形都是正方形.
(1)当时,求的长度;
(2)求长度的最大值.
问题:如图2,已知满足,,设(),四边形、四边形、四边形都是正方形.
(1)当时,求的长度;
(2)求长度的最大值.
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2023-06-30更新
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503次组卷
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4卷引用:江苏省苏州市2022-2023学年高一下学期期末学业质量阳光指标调研数学试题
江苏省苏州市2022-2023学年高一下学期期末学业质量阳光指标调研数学试题(已下线)模块五 专题3 全真拔高模拟3(苏教版高一)浙江省宁波市北仑中学2023-2024学年高二上学期期初考试数学试题(已下线)第11讲 6.4.3 第2课时 正弦定理 (2)-【帮课堂】(人教A版2019必修第二册)
8 . 《周髀算经》是我国最早的数学典籍,书中记载:我国早在商代时期,数学家商高就发现了勾股定理,亦称商高定理三国时期数学家赵爽创制了如图1的“勾股圆方图”(以弦为边长得到的正方形是由4个全等的直角三角形再加上中间的那个小正方形组成),用数形结合法给出了勾股定理的详细证明.现将“勾股圆方图”中的四条股延长相同的长度得到图2.在图2中,若,,G,F两点间的距离为,则“勾股圆方图”中小正方形的面积为( )
A.9 | B.4 | C.3 | D.8 |
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9 . “费马点”是由十七世纪法国业余数学家之王费马提出并征解的一个问题,该问题是指在位于三角形内找一个到三角形三个顶点距离之和最小的点.由当时意大利数学家托里拆利给出解答,当三角形三个内角均小于时,“费马点”与三个顶点的连线正好三等分“费马点”所在的周角,即该点所对的三角形三边的张角相等且均为;当三角形有一内角大于或等于时,所求点为三角形最大内角的顶点.在中,、、的对边分别为a、b、c,且,,成等差数列,.
(1)证明:是直角三角形;
(2)若O是的“费马点”,.设,,,求的值.
(1)证明:是直角三角形;
(2)若O是的“费马点”,.设,,,求的值.
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10 . 我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理,创制了一副“勾股圆方图”,后人称其为“赵爽弦图”.类比赵爽弦图,由3个全等的小三角形拼成如图所示的等边,若的边长为且,则的面积为_______ .
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