1 . 某公园计划改造一块四边形区域铺设草坪，其中百米，百米，，，草坪内需要规划4条人行道，，，以及两条排水沟，，其中，，分别为边，，的中点．

（1）若，求排水沟的长；
（2）当变化时，求4条人行道总长度的最大值．

2 . 克罗狄斯·托勒密（Ptolemy）所著的《天文集》中讲述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意凸四边形中，两条对角线的乘积小于或等于两组对边乘积之和，当且仅当对角互补时取等号，根据以上材料，完成下题：如图，半圆的直径为2，为直径延长线上的一点，，为半圆上一点，以为一边作等边三角形，则当线段的长取最大值时，（ ）

A．30°

B．45°

C．60°

D．90°

3 . 随着生活水平的不断提高，人们更加关注健康，重视锻炼，“日行一万步，健康一辈子”.通过“小步道”，走出“大健康”，健康步道成为引领健康生活的一道亮丽风景线.如图，为某市的一条健康步道，，为线段，是以为直径的半圆，，，.

（1）求的长度；
（2）为满足市民健康生活需要，提升城市品位，改善人居环境，现计划新增健康步道（，在两侧），，为线段.若，到健康步道的最短距离为，求到直线距离的取值范围.

4 . 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．

（1）求的值；
（2）在边BC上取一点D，使得，求的值．

5 . 在中，，，所对的边分别为，，，过作直线与边相交于点，，.当直线时，值为；当为边的中点时，值为.当，变化时，记（即、中较大的数），则的最小值为（       ）

A．

B．

C．

D．1

6 . 在中，，，角A的角平分线，则______.

7 . 如图，某城市有一矩形街心广场，如图.其中百米，百米.现将在其内部挖掘一个三角形水池种植荷花，其中点在边上，点在边上，要求.

（1）若百米，判断是否符合要求，并说明理由；
（2）设，写出面积的关于的表达式，并求的最小值.

8 . （1）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，R表示的外接圆半径.
①如图，在以O圆心、半径为2的圆O中，和是圆O的弦，其中，，求弦的长；
②在中，若是钝角，求证：；

（2）给定三个正实数a、b、R，其中，问：a、b、R满足怎样的关系时，以a、b为边长，R为外接圆半径的不存在、存在一个或存在两个（全等的三角形算作同一个）？在存在的情况下，用a、b、R表示c.

9 . 如图，已知△的内角、、的对边分别为、、，其中，且，延长线段到点，使得，.

（1）求证：是直角；
（2）求的值.

10 . 已知梯形中，，设，，，.

（1）如图①，若，且，求证：.
（2）如图②，若且，作交于，直线恰好平分四边形的周长，求的值.