1 . 已知点P在所在的平面内，则下列各结论正确的有______．
①若P为的垂心，，则
②若为边长为2的正三角形，则的最小值为
③若为锐角三角形且外心为P，且，则
④若，则动点P的轨迹经过的外心

2 . 在2022年2月4日举行的北京冬奥会开幕式上，贯穿全场的雪花元素为观众带来了一场视觉盛宴，象征各国、各地区代表团的“小雪花”汇聚成一朵代表全人类“一起走向未来”的“大雪花”的意境惊艳了全世界（如图①），顺次连接图中各顶点可近似得到正六边形（如图②）．已知正六边形的边长为1，点M满足，则_______；若点P是正六边形边上的动点（包括端点），则的最大值为_______．

3 . 设点M、N分别是不等边的重心与外心，已知、，且．则动点C的轨迹E______；

4 . 已知平面向量和满足，则在方向上的投影的最小值为___________.

5 . 在平面内，若有，，则的最大值为________．

6 . 如图，在矩形中，，，，分别是和的中点，若是矩形内一点（含边界），满足，且，则的最小值为__________.

7 . 在边长为8正方形中，点为的中点，是上一点，且，若对于常数，在正方形的边上恰有个不同的点，使得，则实数的取值范围为______.

8 . 已知向量，，若与的夹角是锐角，则实数的取值范围为______．

9 . 已知是单位圆上的两点，，点是平面内异于的动点，是圆的直径．若，则的取值范围是________．

10 . 已知点和圆上的动点，则的取值范围是_________.