1 . 如图在矩形中，，，N是的中点，M是线段上的点，，．

（1）若M是的中点，求证：与共线；
（2）在线段上是否存在点M，使得与垂直？若不存在请说明理由，若存在请求出M点的位置；
（3）若动点P在矩形上运动，试求的最大值及取得最大值时P点的位置．

2 . 如图所示，若D是△ABC内的一点，且AB²-AC²=DB²-DC²，求证：AD⊥BC.

3 . 在锐角中，角，，的对边分别为，，，用向量方法证明：.

4 . 如图，在矩形中，，，为对角线上一点，且满足：，.

（1）求，并直接写出的最小值（不需要证明）；
（2）求的值.

5 . 已知是非零向量，当的模取最小值时，求证．

6 . 在平面直角坐标系中，已知平面向量，，.
（1）求证：与垂直；
（2）若与是共线向量，求实数的值.

7 . 分别在平面直角坐标系中作出下列各组点，猜想以A，B，C为顶点的三角形的形状，然后给出证明：
（1）；
（2）；
（3）.

8 . 在直角坐标系中已知A(4,O)、B(0,2)、C(-1,0)、D(0,-2),点E在线段AB(不含端点)上,点F在线段CD上,E、O、F三点共线.

(1)若F为线段CD的中点,证明:；
(2)“若F为线段CD的中点,则”的逆命题是否成立?说明理由；
(3)设,求的值．

9 . 已知为非零向量，证明下列结论，并解释其几何意义.
（1）；
（2）若，则.

10 . 设向量的夹角为且如果，，
(1)证明：三点共线；
(2)试确定实数的值，使的取值满足向量与向量垂直.